matlab实现数值积分【一】（trapz函数）

本是古典何须时尚 2022-11-25 11:58 518阅读 0赞

### 目录 ###

*   *   *  总述
         *  函数调用格式
         *  应用举例
         *   *  例1：梯形法求积分
             *  例2：不同步长对积分结果的影响

### 总述 ###

**数值积分**问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式**未知**，则需要由实测数据通过**梯形算法**求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式**未知**时数值积分问题的求解方法，即**已知数据点求积分**。  
![在这里插入图片描述][20200808233833651.bmp]

### 函数调用格式 ###

S = trapz(x, y);

### 应用举例 ###

#### 例1：梯形法求积分 ####

![在这里插入图片描述][20200808234611679.bmp]

x = [0:pi/30:pi]';  
    y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
    S = trapz(x,y)

结果为：`S = [1.9982 0.0000 1.9995]`

> 由于选择的步距较大，为  h ＝ π ／ 30 = 0.1 h＝\\pi／30 = 0.1 h＝π／30=0.1 , 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与**样条插值技术**相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）

#### 例2：不同步长对积分结果的影响 ####

**题目：** 用定步长法求解积分 ∫ 0 3 π 2 c o s 15 x d x \\int\_0^\{\\frac\{3\\pi\}\{2\}\}\{cos15xdx\} ∫023πcos15xdx，并讨论不同步长对积分值的影响。

*  首先，绘制被积函数的图像：

x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
    y=cos(15*x); plot(x,y)

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzk2NDk5Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。

*  对不同的步距  h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。

syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
    h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[]; 
    for h=h0
    	x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x); 
    	I = trapz(x,y); 
    	v = [v; h,I,A-I]; 
    end

得出结果如下：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzk2NDk5Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。

[20200808233833651.bmp]: /images/20221124/f9843a4cdd91488c8948375d0466c057.png
[20200808234611679.bmp]: /images/20221124/be8ece1a042d433d86729b0aac377052.png
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[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzk2NDk5Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20221124/3a5bfa75bc534ec89c4edc925cc4232c.png