正态分布（高斯分布）及Python实现——计算机视觉修炼之路（三）

青旅半醒 2022-10-04 12:52 279阅读 0赞

# 正态分布 #

正态分布（Normal distribution）正态分布又称高斯分布，是一种很重要的连续型分布，应用甚广。在医学卫生领域中有许多变量的频数分布资料可绘制成直方图而且频数分布是中间（靠近均数处）频数多，两边频数少，且左右对称。正态分布在统计学上十分重要，经常用在自然和社会科学来代表一个不明的随机变量。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。下图表示均值为0.0178，标准差为0.00707的正态分布函数的图像。

![图1][1]  正态分布函数曲线

若随机变量X服从一个数学期望为u、方差为![\\sigma ^2][sigma _2]的正态分布，记为N(u,![\\sigma ^2][sigma _2])。其概率密度函数为正态分布的期望值u决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。一维正态分布的概率密度函数为：

![f(x)=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi \}\\sigma \}exp(-\\frac\{(x-\\mu )^2\}\{2\\sigma ^2\})][f_x_frac_1_sqrt_2_pi _sigma _exp_-_frac_x-_mu _2_2_sigma _2]

μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小。正态分布以x=μ为对称轴，左右完全对称。正态分布的期望、均数、中位数、众数相同，均等于μ。

σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散；σ越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。如图2所示。

![图2][2] 不同参数的正态分布函数曲线

## 正态分布的应用 ##

正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。

一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t 分布、F 分布等。

在计算机视觉中，高斯函数是极为重要的一个函数。使用核方法，高斯核函数可以把低维数据映射到高维，我们在这个高维的非线性流行上处理数据；高斯噪声、高斯滤波器等方法经常在图像加噪去噪过程中用到。在信息论中，相关熵引导度量就是基于高斯函数推导的出的。还有很多基于高斯函数的方法会在今后的学习中用到。因此熟记并理解高斯函数十分的重要。

编程示例

根据一维正态分布的公式，使用 Python 来实现一个一维正态分布的概率密度函数，并输出给定数据的函数值。

import numpy as np
    
    u = input()     # 均值μ
    sig = input()     # 标准差δ
    u = float(u)
    sig = float(sig)
    
    x = np.linspace(u - 3 * sig, u + 3 * sig, 50)     #给定的数据样本x
    
    #高斯分布概率
    def guass(data,avg,sig):
        sqrt_2pi=np.power(2*np.pi,0.5)
        coef=1/(sqrt_2pi*sig)
        powercoef=-1/(2*np.power(sig,2))
        mypow=powercoef*(np.power((data-avg),2))
        return coef*(np.exp(mypow))
    print(guass(x,u,sig))

测试输入：

1.  `1`
2.  `1`

预期输出：

1.  `[0.00443185 0.00635135 0.00896675 0.01247075 0.01708592 0.02306069`
2.  `0.03066159 0.04016108 0.05182083 0.0658706 0.08248352 0.10174921`
3.  `0.12364689 0.1480211 0.17456307 0.20280069 0.2320998 0.26167871`
4.  `0.29063661 0.31799518 0.34275126 0.36393672 0.38068082 0.39226937`
5.  `0.39819528 0.39819528 0.39226937 0.38068082 0.36393672 0.34275126`
6.  `0.31799518 0.29063661 0.26167871 0.2320998 0.20280069 0.17456307`
7.  `0.1480211 0.12364689 0.10174921 0.08248352 0.0658706 0.05182083`
8.  `0.04016108 0.03066159 0.02306069 0.01708592 0.01247075 0.00896675`
9.  `0.00635135 0.00443185]`

[1]: /images/20221004/99cd1ca1dbba406c826004391262579c.png
[sigma _2]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma%20%5E2
[f_x_frac_1_sqrt_2_pi _sigma _exp_-_frac_x-_mu _2_2_sigma _2]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%20%7D%5Csigma%20%7Dexp%28-%5Cfrac%7B%28x-%5Cmu%20%29%5E2%7D%7B2%5Csigma%20%5E2%7D%29
[2]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/5a9e832b671945dce4592f62d43d0f26.png