n个元素进栈，共有多少种出栈顺序（公式）

╰+攻爆jí腚メ 2022-09-27 14:25 240阅读 0赞

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>入栈元素的个数</th> 
   <th>出栈顺序</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>1</td> 
   <td>1</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>2</td> 
   <td>2</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>3</td> 
   <td>5</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>n</td> 
   <td>?</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

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然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑：元素a只可能出现在1号位置，2号位置，3号位置和4号位置(很容易理解，一共就4个位置，比如abcd,元素a就在1号位置)。  
1) 如果元素a在1号位置，那么只可能a进栈，马上出栈，此时还剩元素b、c、d等待操作，就是子问题f(3)  
2) 如果元素a在2号位置，那么一定有一个元素比a先出栈，即有f(1)种可能顺序（只能是b），还剩c、d，即f(2)  
3) 如果元素a在3号位置，那么一定有两个元素比1先出栈，即有f(2)种可能顺序（只能是b、c），还剩d，即f(1)  
4) 如果元素a在4号位置，那么一定是a先进栈，最后出栈，那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解，即 f(3)

结合所有情况，即f(4) = f(3) + f(2) \* f(1) + f(1) \* f(2) + f(3)  
为了规整化，我们定义f(0) = 1；于是f(4)可以重新写为：  
f(4) = f(0) \* f(3) + f(1) \* f(2) + f(2) \* f(1) + f(3) \* f(0)  
然后我们推广到n，推广思路和n=4时完全一样，于是我们可以得到：  
f(n) = f(0)\*f(n-1) + f(1)\*f(n-2) + … + f(n-1)\*f(0)  
即![1342588652_5874.png][]

[1342588652_5874.png]: https://img-my.csdn.net/uploads/201207/18/1342588652_5874.png