面试官：说说你对算法中时间复杂度，空间复杂度的理解？如何计算？

亦凉 2022-09-12 00:11 41阅读 0赞

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## 一、前言 ##

算法（Algorithm）是指用来操作数据、解决程序问题的一组方法。对于同一个问题，使用不同的算法，也许最终得到的结果是一样的，但在过程中消耗的资源和时间却会有很大的区别

衡量不同算法之间的优劣主要是通过「时间」和「空间」两个维度去考量：

*  时间维度：是指执行当前算法所消耗的时间，我们通常用「时间复杂度」来描述。
 *  空间维度：是指执行当前算法需要占用多少内存空间，我们通常用「空间复杂度」来描述

通常会遇到一种情况，时间和空间维度不能够兼顾，需要在两者之间取得一个平衡点是我们需要考虑的

一个算法通常存在最好、平均、最坏三种情况，我们一般关注的是最坏情况

最坏情况是算法运行时间的上界，对于某些算法来说，最坏情况出现的比较频繁，也意味着平均情况和最坏情况一样差

## 二、时间复杂度 ##

时间复杂度是指执行这个算法所需要的计算工作量，其复杂度反映了程序执行时间「随输入规模增长而增长的量级」，在很大程度上能很好地反映出算法的优劣与否

一个算法花费的时间与算法中语句的「执行次数成正比」，执行次数越多，花费的时间就越多

算法的复杂度通常用大O符号表述，定义为`T(n) = O(f(n))`，常见的时间复杂度有：O(1)常数型、O(log n)对数型、O(n)线性型、O(nlogn)线性对数型、O(n^2)平方型、O(n^3)立方型、O(n^k)k次方型、O(2^n)指数型，如下图所示：

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从上述可以看到，随着问题规模`n`的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低，由小到大排序如下：

Ο(1)＜Ο(log n)＜Ο(n)＜Ο(nlog n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2^n)＜Ο(n!)

注意的是，算法复杂度只是描述算法的增长趋势，并不能说一个算法一定比另外一个算法高效，如果常数项过大的时候也会导致算法的执行时间变长

关于如何计算时间复杂度，可以看看如下简单例子：

function process(n) {
      let a = 1
      let b = 2
      let sum = a + b
      for(let i = 0; i < n; i++) {
        sum += i
      }
      return sum
    }

该函数算法需要执行的运算次数用输入大小`n`的函数表示，即 `T(n) = 2 + n + 1`，那么时间复杂度为`O(n + 3)`，又因为时间复杂度只关注最高数量级，且与之系数也没有关系，因此上述的时间复杂度为`O(n)`

又比如下面的例子：

function process(n) {
     let count = 0
      for(let i = 0; i < n; i++){
        for(let i = 0; i < n; i++){
          count += 1
        }
      }
    }

循环里面嵌套循环，外面的循环执行一次，里面的循环执行`n`次，因此时间复杂度为 `O(n*n*1 + 2) = O(n^2)`

对于顺序执行的语句，总的时间复杂度等于其中最大的时间复杂度，如下：

function process(n) {
      let sum = 0
      for(let i = 0; i < n; i++) {
        sum += i
      }
      for(let i = 0; i < n; i++){
        for(let i = 0; i < n; i++){
          sum += 1
        }
      }
      return sum
    }

上述第一部分复杂度为`O(n)`，第二部分复杂度为`O(n^2)`，总复杂度为`max(O(n^2), O(n)) = O(n^2)`

又如下一个例子：

function process(n) {
      let i = 1; // ①
      while (i <= n) {
         i = i * 2; // ②
      }
    }

循环语句中以2的倍数来逼近`n`，每次都乘以2。如果用公式表示就是1 \*  2 \* 2 \* 2 … \* 2 <=n，也就是说2的`x`次方小于等于`n`时会执行循环体，记作`2^x <= n`，于是得出`x<=logn`

因此循环在执行`logn`次之后，便结束，因此时间复杂度为`O(logn)`

同理，如果一个`O(n)`循环里面嵌套`O(logn)`的循环，则时间复杂度为`O(nlogn)`，像`O(n^3)`无非也就是嵌套了三层`O(n)`循环

## 三、空间复杂度 ##

空间复杂度主要指执行算法所需内存的大小，用于对程序运行过程中所需要的临时存储空间的度量

除了需要存储空间、指令、常数、变量和输入数据外，还包括对数据进行操作的工作单元和存储计算所需信息的辅助空间

下面给出空间复杂度为`O(1)`的示例，如下

let a = 1
    let b = 2
    let c = 3

上述代码的临时空间不会随着`n`的变化而变化，因此空间复杂度为`O(1)`

let arr []
    for(i=1; i<=n; ++i){
      arr.push(i)
    }

上述可以看到，随着`n`的增加，数组的占用的内存空间越大

通常来说，只要算法不涉及到动态分配的空间，以及递归、栈所需的空间，空间复杂度通常为`O(1)`，一个一维数组`a[n]`，空间复杂度`O(n)`，二维数组为`O(n^2)`

## 参考文献 ##

*  https://juejin.cn/post/6844904167824162823\#heading-7
 *  https://zhuanlan.zhihu.com/p/50479555
 *  https://cloud.tencent.com/developer/article/1769988

\--The End--

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