java实现算法之堆排序

我就是我 2022-08-22 00:15 239阅读 0赞

本文参考文章：http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/6709644

**堆排序**与**[快速排序][Link 1]**，**[归并排序][Link 2]**一样都是时间复杂度为O(N\*logN)的几种常见排序方法。学习堆排序前，先讲解下什么是数据结构中的二叉堆。

## 二叉堆的定义 ##

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。

二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为**最大堆**。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为**最小堆**。下图展示一个最小堆：

![0_1314014666d5oe.gif][]

由于其它几种堆（二项式堆，斐波纳契堆等）用的较少，一般将二叉堆就简称为堆。

## 堆的存储 ##

一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 \* i + 1和2 \* i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

![0_1314014706gZqn.gif][]

## 堆的操作——插入删除 ##

下面先给出《数据结构C++语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解，再给出本人的实现代码，最好是先看明白图后再去看代码。

![0_131415207877s7.gif][]

### 堆的插入 ###

每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于 直接插入排序 中将一个数据并入到有序区间中， 代码：

/**
    	 * 新加入i结点  其父结点为(i - 1) / 2  
    	 * 新插入的節點都是位於數組末尾，从该节点开始检查，类似“上浮”的过程
    	 * @param a
    	 * @param i
    	 */
    	static void minHeapFixup (int[] a, int i) {
    		int j, temp;
    		temp = a[i];
    		j = (i - 1) / 2;//父节点
    		while (j > 0 && i != 0) {
    			if (a[j] <= temp) {
    				break;
    			}
    			a[i] = a[j]; //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点  
    			i = j;
    			j = (i - 1) / 2;
    		}
    		a[i] = temp;
    	}

插入时：

//在最小堆中插入元素时
    	static void minHeapAddNumber(int[] a, int n, int value) {
    		a[n] = value;
    		minHeapFixup(a, n);
    	}

### 堆的删除 ###

按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。下面给出代码：

// 从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 。i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2。删除的调整过程有点类似“下沉”过程
    	static void minHeapFixdown(int[] a, int i, int n) {
    		int temp = a[i];
    		int j = 2 * i + 1;//左儿子
    		while (j < n) {
    			if (j + 1 < n && a[j] > a[j + 1]) {//选出两个孩子中较小的孩子
    				j++;
    			}
    			if (a[j] >= temp) {
    				break;
    			}
    			a[i] = a[j]; //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点  
    			i = j;
    			j = 2 * i + 1;
    		}
    		a[i] = temp;
    	}
    	
    	/**
    	 * 删除小顶堆，是删除第一个元素，用最后的元素填充到第一个元素。
    	 * 其实，也就是第一个与最后一个元素交换，然后长度缩短一个就可以实现。
    	 * 小顶堆采取这种方式排序出来，最后得到的是从大到小的逆序。因为每次都将最小的交换到最后。
    	 * @param a
    	 * @param first
    	 * @param n
    	 */
    	static void minHeapDeleteNumber(int a[], int n) {  
    		int temp = a[0];
    		a[0] = a[n - 1];
    		a[n - 1] = temp;
    		minHeapFixdown(a, 0, n - 1);  
    	}

## 堆化数组 ##

有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。要一个一个的从数组中取出数据来建立堆吧，不用！先看一个数组，如下图：

![0_1314014725K5k6.gif][]

很明显，对叶子结点来说，可以认为它已经是一个合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分别是一个合法的堆。只要从A\[4\]=50开始向下调整就可以了。然后再取A\[3\]=30，A\[2\] = 17，A\[1\] = 12，A\[0\] = 9分别作一次向下调整操作就可以了。下图展示了这些步骤：

![0_1314014735kbBA.gif][]

写出堆化数组的代码：

/**
    	 * 数组元素来生成小顶堆，从第n/2 - 1个元素开始，因为叶子元素已是合法的堆了
    	 * @param a
    	 * @param n
    	 */
    	static void makeMinHeap(int[] a, int n) {
    		for (int j = n / 2 - 1; j >= 0 ; j--) {
    			minHeapFixdown(a, j, n);
    		}
    	}

至此，堆的操作就全部完成了(注1)，再来看下如何用堆这种数据结构来进行排序。

## 堆排序 ##

首先可以看到堆建好之后堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。

由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将A\[0\]与A\[n - 1\]交换，再对A\[0…n-2\]重新恢复堆。第二次将A\[0\]与A\[n – 2\]交换，再对A\[0…n - 3\]重新恢复堆，重复这样的操作直到A\[0\]与A\[1\]交换。由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。有点类似于**[直接选择排序][Link 3]**。

//堆排序，小顶堆，排序形成的是逆序的数组，过程就是交换第一个和最后一个元素，每次数组长度减少1
    	static void minheapSortToDescendArray(int[] a, int n) {
    		int temp;
    		for (int j = n - 1; j >= 0; j--) {
    			//交换
    			temp = a[0];
    			a[0] = a[j];
    			a[j] = temp;
    			//调整
    			minHeapFixdown(a, 0, j);
    		}
    	}

注意使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆。

由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN)，共N - 1次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时N / 2次向下调整，每次调整时间复杂度也为O(logN)。二次操作时间相加还是O(N \* logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N \* logN)。

完整的实现代码如下：

package Algorithm.ylh.com;
    
    import java.util.Arrays;
    
    public class HeapSort {
    	
    	public static void main(String[] args) {
    		int[] a = GenerateIntArray.getArray();
    		System.out.println(Arrays.toString(a));
    		makeMinHeap(a, a.length);//建堆
    		System.out.println(Arrays.toString(a));
    		minHeapDeleteNumber(a, a.length);//删除一个元素
    		System.out.println(Arrays.toString(a));
    		minHeapAddNumber(a, a.length - 1, 20);//添加一个元素
    		System.out.println(Arrays.toString(a));
    		minheapSortToDescendArray(a, a.length);//排序
    		System.out.println(Arrays.toString(a));
    	}
    	
    	
    	/**
    	 * 新加入i结点  其父结点为(i - 1) / 2  
    	 * 新插入的節點都是位於數組末尾，从该节点开始检查，类似“上浮”的过程
    	 * @param a
    	 * @param i
    	 */
    	static void minHeapFixup (int[] a, int i) {
    		int j, temp;
    		temp = a[i];
    		j = (i - 1) / 2;//父节点
    		while (j > 0 && i != 0) {
    			if (a[j] <= temp) {
    				break;
    			}
    			a[i] = a[j]; //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点  
    			i = j;
    			j = (i - 1) / 2;
    		}
    		a[i] = temp;
    	}
    	
    	//在最小堆中插入元素时
    	static void minHeapAddNumber(int[] a, int n, int value) {
    		a[n] = value;
    		minHeapFixup(a, n);
    	}
    	
    	// 从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 。i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2。删除的调整过程有点类似“下沉”过程
    	static void minHeapFixdown(int[] a, int i, int n) {
    		int temp = a[i];
    		int j = 2 * i + 1;//左儿子
    		while (j < n) {
    			if (j + 1 < n && a[j] > a[j + 1]) {//选出两个孩子中较小的孩子
    				j++;
    			}
    			if (a[j] >= temp) {
    				break;
    			}
    			a[i] = a[j]; //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点  
    			i = j;
    			j = 2 * i + 1;
    		}
    		a[i] = temp;
    	}
    	
    	/**
    	 * 删除小顶堆，是删除第一个元素，用最后的元素填充到第一个元素。
    	 * 其实，也就是第一个与最后一个元素交换，然后长度缩短一个就可以实现。
    	 * 小顶堆采取这种方式排序出来，最后得到的是从大到小的逆序。因为每次都将最小的交换到最后。
    	 * @param a
    	 * @param first
    	 * @param n
    	 */
    	static void minHeapDeleteNumber(int a[], int n) {  
    		int temp = a[0];
    		a[0] = a[n - 1];
    		a[n - 1] = temp;
    		minHeapFixdown(a, 0, n - 1);  
    	} 
    	
    	/**
    	 * 数组元素来生成小顶堆，从第n/2 - 1个元素开始，因为叶子元素已是合法的堆了
    	 * @param a
    	 * @param n
    	 */
    	static void makeMinHeap(int[] a, int n) {
    		for (int j = n / 2 - 1; j >= 0 ; j--) {
    			minHeapFixdown(a, j, n);
    		}
    	}
    	
    	//堆排序，小顶堆，排序形成的是逆序的数组，过程就是交换第一个和最后一个元素，每次数组长度减少1
    	static void minheapSortToDescendArray(int[] a, int n) {
    		int temp;
    		for (int j = n - 1; j >= 0; j--) {
    			//交换
    			temp = a[0];
    			a[0] = a[j];
    			a[j] = temp;
    			//调整
    			minHeapFixdown(a, 0, j);
    		}
    	}
    }

[Link 1]: http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/6684558
[Link 2]: http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/6678165
[0_1314014666d5oe.gif]: /images/20220724/0d59180920e54e7f9fdd8d596c85cec1.png
[0_1314014706gZqn.gif]: /images/20220724/b9c211486ad6442ea7040424c4a1aea8.png
[0_131415207877s7.gif]: /images/20220724/89e4aa21bb294e0f98f7125da63676d0.png
[0_1314014725K5k6.gif]: /images/20220724/dcf025a050a5409e986726f2e0f9264e.png
[0_1314014735kbBA.gif]: /images/20220724/5e5b521d208e480e962df97b0192509a.png
[Link 3]: http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/6671824