算法学习笔记之百钱买百鸡问题

系统管理员 2022-08-21 07:48 88阅读 0赞

百钱买百鸡的问题算是一套非常经典的不定方程的问题，题目很简单：公鸡5文钱一只，母鸡3文钱一只，小鸡3只一文钱， 用100文钱买一百只鸡,其中公鸡，母鸡，小鸡都必须要有，问公鸡，母鸡，小鸡要买多少只刚好凑足100文钱？  
我们可以设公鸡为x，母鸡为y，小鸡为z，可以得出下列方程：  
x + y +ｚ＝100;  
5x + 3y + z/3 = 100;  
再看看x,y,z的取值，只有100文钱，5x < 100 =>x < 20,同理y < 33 ,则 z = 100 - x - y;  
则写出下列程序：

private static void BQBJ() {
            //公鸡的上限
            for (int x = 1; x  < 20; x++) {
                //母鸡的上限
                for (int y = 1; y < 33; y++) {
                    //剩余小鸡的数量
                    int z = 100 - x - y;
                    if ((z%3 == 0) && (5*x + 3*y + z/3) == 100){
                        System.out.println("公鸡=" + x + ";母鸡=" + y + ";小鸡=" + z);
                    }
                }
            }
        }

输出为：  
![这里写图片描述][20160423104936227]  
我们要知道目前的时间复杂度是O(N2),实际应用中这个复杂度是不能让你接受的，最多最多能让人接受的是O(N)。  
下面来看第二种方式：

x+y+z = 100        ①
    5x+3y+z/3 = 100    ②

令②x3-① 可得

7x+4y = 100

=>y = 25-(7/4)x ③

又因为0 < y < 100 的自然数，则可令

x = 4k         ④

将④代入③可得

=> y = 25-7k ⑤

将④⑤代入①可知

=> z = 75+3k ⑥

要保证 0 < x,y,z < 100 的话，k的取值范围只能是1,2,3  
代码为：

//m为钱数，n为鸡数
    private static void BQBJ(int m, int n) {
            int x,y,z;
            for (int k = 1; k < 4; k++) {
                x = 4*k;
                y = 25 - 7*k;
                z = 3*k + 75;
                System.out.println("公鸡=" + x + ";母鸡=" + y + ";小鸡=" + z);
            }
        }

运行结果：  
![这里写图片描述][20160423105701907]  
这一次我们做到了O(n)的时间复杂度，能接受，感觉还不错。

[20160423104936227]: /images/20220724/5d957fad52e54ff39b2a791874406791.png
[20160423105701907]: /images/20220724/74e1e42adb8a46b29720dee9da545691.png