最大堆的插入/删除/调整/排序操作(图解+程序)（JAVA）

布满荆棘的人生 2022-08-06 12:10 234阅读 0赞

堆有最大堆和最小堆之分，最大堆就是每个节点的值都>=其左右孩子（如果有的话）值的完全二叉树。最小堆便是每个节点的值都<=其左右孩子值的完全二叉树。 
 
 设有n个元素的序列\{k1,k2,...,kn\},当且仅当满足下列关系时,称之为堆。 
![7103103d-0611-3b1c-8597-2ae98cc3da68.jpg][] 
 
堆的三种基本操作(以下以最大堆为例)： 
⑴最大堆的插入 
 
 由于需要维持完全二叉树的形态，需要先将要插入的结点x放在最底层的最右边，插入后满 足完全二叉树的特点； 
 然后把x依次向上调整到合适位置满足堆的性质,例如下图中插入80,先将80放在最后,然后两次上浮到合适位置. 
 时间：O(logn)。 “结点上浮” 
![ce44cd81-7e29-3fd2-af8f-9326d13523e6.jpg][] 
 
程序实现:

//向最大堆中插入元素, heap:存放堆元素的数组
 public static void insert(List<Integer> heap, int value) { 
 //在数组的尾部添加
 if(heap.size()==0)
 heap.add(0);//数组下标为0的位置不放元素
 heap.add(value); 
 //开始上升操作 
 // heapUp2(heap, heap.size() - 1); 
 heapUp(heap, heap.size() - 1); 
 
 } 
 
 //上升，让插入的数和父节点的数值比较，当大于父节点的时候就和父节点的值相交换 
 public static void heapUp(List<Integer> heap, int index) { 
 
 //注意由于数值是从下标为1开始，当index = 1的时候，已经是根节点了 
 if (index > 1) { 
 //求出父亲的节点 
 int parent = index / 2; 
 
 //获取相应位置的数值 
 int parentValue = (Integer) heap.get(parent); 
 int indexValue = (Integer) heap.get(index); 
 //如果父亲节点比index的数值小，就交换二者的数值 
 if (parentValue < indexValue) { 
 //交换数值 
 swap(heap, parent, index); 
 //递归调用 
 heapUp(heap, parent); 
 } 
 
 } 
 }

⑵删除  
 操作原理是：当删除节点的数值时，原来的位置就会出现一个孔,填充这个孔的方法就是，   
把最后的叶子的值赋给该孔并下调到合适位置，最后把该叶子删除。   
  
如图中要删除72,先用堆中最后一个元素来35替换72,再将35下沉到合适位置,最后将叶子节点删除。   
　　 “结点下沉”   
  
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程序:
 /**
 * 删除堆中位置是index处的节点
 * 操作原理是：当删除节点的数值时，原来的位置就会出现一个孔
 * 填充这个孔的方法就是，把最后的叶子的值赋给该孔，最后把该叶子删除
 * @param heap 
 */ 
 public static void delete(List<Integer> heap,int index) { 
 //把最后的一个叶子的数值赋值给index位置 
 heap.set(index, heap.get(heap.size() - 1)); 
 //下沉操作 
 //heapDown2(heap, index); 
 heapDown(heap, index); 
 //把最后一个位置的数字删除 
 heap.remove(heap.size() - 1); 
 } 
 /**
 * 递归实现
 * 删除堆中一个数据的时候，根据堆的性质，应该把相应的位置下移，才能保持住堆性质不变
 * @param heap 保持堆元素的数组
 * @param index 被删除的那个节点的位置
 */ 
 public static void heapDown(List<Integer> heap, int index) { 
 //因为第一个位置存储的是空值，不在考虑之内 
 int n = heap.size() - 2; 
 
 //记录最大的那个儿子节点的位置 
 int child = -1; 
 
 //2*index>n说明该节点没有左右儿子节点了，那么就返回 
 if (2 * index > n) { 
 return; 
 } //如果左右儿子都存在 
 else if (2 * index < n) { 
 
 //定义左儿子节点 
 child = 2 * index; 
 //如果左儿子小于右儿子的数值，取右儿子的下标 
 if ((Integer) heap.get(child) < (Integer) heap.get(child + 1)) { 
 child++; 
 } 
 
 }//如果只有一个儿子（左儿子节点） 
 else if (2 * index == n) { 
 child = 2 * index; 
 } 
 
 if ((Integer) heap.get(child) > (Integer) heap.get(index)) { 
 //交换堆中的child，和index位置的值 
 swap(heap, child, index); 
 
 //完成交换后递归调用，继续下降 
 heapDown(heap, child); 
 } 
 }

⑶初始化   
方法1：插入法：   
 从空堆开始，依次插入每一个结点，直到所有的结点全部插入到堆为止。   
 时间：O(n\*log(n))   
 方法2：调整法：   
 序列对应一个完全二叉树；从最后一个分支结点（n div 2）开始，到根（1）为止，依次对每个分支结点进行调整（下沉），  
以便形成以每个分支结点为根的堆，当最后对树根结点进行调整后，整个树就变成了一个堆。   
 时间：O(n)   
对如图的序列,要使其成为堆,我们从最后一个分支结点(10/2),其值为72开始,依次对每个分支节点53,18,36 45进行调整(下沉).   
![127c901b-80b9-35e3-b255-8bcf3a8cfc27.jpg][]  
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程序:
 /*根据树的性质建堆，树节点前一半一定是分支节点，即有孩子的，所以我们从这里开始调整出初始堆*/ 
 public static void adjust(List<Integer> heap){
 for (int i = heap.size() / 2; i > 0; i--) 
 adjust(heap,i, heap.size()-1); 
 
 System.out.println("=================================================");
 System.out.println("调整后的初始堆：");
 print(heap);
 }
 /** 
 * 调整堆，使其满足堆得定义 
 * @param i 
 * @param n 
 */ 
 public static void adjust(List<Integer> heap,int i, int n) { 
 
 int child; 
 for (; i <= n / 2; ) { 
 child = i * 2; 
 if(child+1<=n&&heap.get(child)<heap.get(child+1)) 
 child+=1;/*使child指向值较大的孩子*/ 
 if(heap.get(i)< heap.get(child)){ 
 swap(heap,i, child); 
 /*交换后，以child为根的子树不一定满足堆定义，所以从child处开始调整*/ 
 i = child; 
 
 } else break;
 } 
 }

(4)最大堆排序

//对一个最大堆heap排序
 public static void heapSort(List<Integer> heap) { 
 
 for (int i = heap.size()-1; i > 0; i--) { 
 /*把根节点跟最后一个元素交换位置，调整剩下的n-1个节点，即可排好序*/ 
 swap(heap,1, i); 
 adjust(heap,1, i - 1); 
 } 
 }

(5)完整的代码

import java.util.*; 
 
 /**
 *实现的最大堆的插入和删除操作
 * @author Arthur
 */ 
 public class Heap { 
 /**
 * 删除堆中位置是index处的值
 * 操作原理是：当删除节点的数值时，原来的位置就会出现一个孔
 * 填充这个孔的方法就是，把最后的叶子的值赋给该孔，最后把该叶子删除
 * @param heap 一个最大堆
 */ 
 public static void delete(List<Integer> heap,int index) { 
 //把最后的一个叶子的数值赋值给index位置 
 heap.set(index, heap.get(heap.size() - 1)); 
 //下沉操作 
 //heapDown2(heap, index); 
 heapDown(heap, index); //节点下沉
 //把最后一个位置的数字删除 
 heap.remove(heap.size() - 1); 
 } 
 
 
 /** 
 * 节点下沉递归实现
 * 删除一个堆中一个数据的时候，根据堆的性质，应该把相应的位置下移，才能保持住堆性质不变
 * @param heap 保持最大堆元素的数组
 * @param index 被删除的那个节点的位置
 */ 
 public static void heapDown(List<Integer> heap, int index) { 
 //因为第一个位置存储的是空值，不在考虑之内 
 int n = heap.size() - 2; 
 
 //记录最大的那个儿子节点的位置 
 int child = -1; 
 
 //2*index>n说明该节点没有左右儿子节点了，那么就返回 
 if (2 * index > n) { 
 return; 
 } //如果左右儿子都存在 
 else if (2 * index < n) { 
 
 //定义左儿子节点 
 child = 2 * index; 
 //如果左儿子小于右儿子的数值，取右儿子的下标 
 if ((Integer) heap.get(child) < (Integer) heap.get(child + 1)) { 
 child++; 
 } 
 
 }//如果只有一个儿子（左儿子节点） 
 else if (2 * index == n) { 
 child = 2 * index; 
 } 
 
 if ((Integer) heap.get(child) > (Integer) heap.get(index)) { 
 //交换堆中的child，和index位置的值 
 swap(heap, child, index); 
 
 //完成交换后递归调用，继续下降 
 heapDown(heap, child); 
 } 
 } 
 
 //非递归实现 
 public static void heapDown2(List<Integer> heap, int index) { 
 int child = 0;//存储左儿子的位置 
 
 int temp = (Integer) heap.get(index); 
 int n = heap.size() - 2; 
 //如果有儿子的话 
 for (; 2 * index <= n; index = child) { 
 //获取左儿子的位置 
 child = 2 * index; 
 //如果只有左儿子 
 if (child == n) { 
 child = 2 * index; 
 } //如果右儿子比左儿子的数值大 
 else if ((Integer) heap.get(child) < (Integer) heap.get(child + 1)) { 
 child++; 
 } 
 
 //如果数值最大的儿子比temp的值大 
 if ((Integer) heap.get(child) >temp) { 
 //交换堆中的child，和index位置的值 
 swap(heap, child, index); 
 } else { 
 break; 
 } 
 } 
 } 
 
 
 //打印链表 
 public static void print(List<Integer> list) { 
 for (int i = 1; i < list.size(); i++) { 
 System.out.print(list.get(i) + " "); 
 } 
 System.out.println();
 } 
 
 //把堆中的a,b位置的值互换 
 public static void swap(List<Integer> heap, int a, int b) { 
 //临时存储child位置的值 
 int temp = (Integer) heap.get(a); 
 
 //把index的值赋给child的位置 
 heap.set(a, heap.get(b)); 
 
 //把原来的child位置的数值赋值给index位置 
 heap.set(b, temp); 
 } 
 
 //向最大堆中插入元素 
 public static void insert(List<Integer> heap, int value) { 
 //在数组的尾部添加要插入的元素
 if(heap.size()==0)
 heap.add(0);//数组下标为0的位置不放元素
 heap.add(value); 
 //开始上升操作 
 // heapUp2(heap, heap.size() - 1); 
 heapUp(heap, heap.size() - 1); 
 
 } 
 
 //节点上浮，让插入的数和父节点的数值比较，当大于父节点的时候就和节点的值相交换 
 public static void heapUp(List<Integer> heap, int index) { 
 
 //注意由于数值是从小标为一开始，当index = 1的时候，已经是根节点了 
 if (index > 1) { 
 //保存父亲的节点 
 int parent = index / 2; 
 
 //获取相应位置的数值 
 int parentValue = (Integer) heap.get(parent); 
 int indexValue = (Integer) heap.get(index); 
 //如果父亲节点比index的数值小，就交换二者的数值 
 if (parentValue < indexValue) { 
 //交换数值 
 swap(heap, parent, index); 
 //递归调用 
 heapUp(heap, parent); 
 } 
 
 } 
 } 
 
 //非递归实现 
 public static void heapUp2(List<Integer> heap, int index) { 
 int parent = 0; 
 for (; index > 1; index /= 2) { 
 //获取index的父节点的下标 
 parent = index / 2; 
 
 //获得父节点的值 
 int parentValue = (Integer) heap.get(parent); 
 //获得index位置的值 
 int indexValue = (Integer) heap.get(index); 
 
 //如果小于就交换 
 if (parentValue < indexValue) { 
 swap(heap, parent, index); 
 } 
 } 
 } 
 /*根据树的性质建堆，树节点前一半一定是分支节点，即有孩子的，所以我们从这里开始调整出初始堆*/ 
 public static void adjust(List<Integer> heap){
 for (int i = heap.size() / 2; i > 0; i--) 
 adjust(heap,i, heap.size()-1); 
 
 System.out.println("=================================================");
 System.out.println("调整后的初始堆：");
 print(heap);
 }
 /** 
 * 调整堆，使其满足堆得定义 
 * @param i 
 * @param n 
 */ 
 public static void adjust(List<Integer> heap,int i, int n) { 
 
 int child; 
 for (; i <= n / 2; ) { 
 child = i * 2; 
 if(child+1<=n&&heap.get(child)<heap.get(child+1)) 
 child+=1;/*使child指向值较大的孩子*/ 
 if(heap.get(i)< heap.get(child)){ 
 swap(heap,i, child); 
 /*交换后，以child为根的子树不一定满足堆定义，所以从child处开始调整*/ 
 i = child; 
 
 } else break;
 } 
 } 
 
 //对一个最大堆heap排序
 public static void heapSort(List<Integer> heap) { 
 
 for (int i = heap.size()-1; i > 0; i--) { 
 /*把根节点跟最后一个元素交换位置，调整剩下的n-1个节点，即可排好序*/ 
 swap(heap,1, i); 
 adjust(heap,1, i - 1); 
 } 
 } 
 public static void main(String args[]) { 
 List<Integer> array = new ArrayList<Integer>(Arrays.asList(null, 
 1, 2, 5, 10, 3, 7, 11, 15, 17, 20, 9, 15, 8, 16));
 adjust(array);//调整使array成为最大堆
 
 delete(array,8);//堆中删除下标是8的元素
 System.out.println("删除后");
 print(array);
 insert(array, 99);//堆中插入
 print(array); 
 heapSort(array);//排序
 System.out.println("将堆排序后:");
 print(array);
 System.out.println("-------------------------");
 List<Integer> array1=new ArrayList<Integer>();
 insert(array1,0);
 insert(array1, 1);insert(array1, 2);insert(array1, 5);
 insert(array1, 10);insert(array1, 3);insert(array1, 7);
 insert(array1, 11);insert(array1, 15); insert(array1, 17);
 insert(array1, 20);insert(array1, 9);
 insert(array1, 15);insert(array1, 8);insert(array1, 16);
 print(array1);
 
 System.out.println("==============================");
 array=new ArrayList<Integer>(Arrays.asList(null,45,36,18,53,72,30,48,93,15,35));
 adjust(array);
 insert(array, 80);//堆中插入
 print(array);
 delete(array,2);//堆中删除80的元素
 print(array);
 delete(array,2);//堆中删除72的元素
 print(array);
 
 } 
 }

程序运行:   
D:\\java>java Heap   
=================================================   
调整后的初始堆：   
20 17 16 15 9 15 11 1 10 3 2 7 8 5   
删除后   
20 17 16 15 9 15 11 5 10 3 2 7 8   
99 17 20 15 9 15 16 5 10 3 2 7 8 11   
将堆排序后:   
2 3 5 7 8 9 10 11 15 15 16 17 20 99   
\-------------------------   
20 17 16 10 15 9 15 0 5 2 11 1 7 3 8   
==============================   
=================================================   
调整后的初始堆：   
93 72 48 53 45 30 18 36 15 35   
93 80 48 53 72 30 18 36 15 35 45   
93 72 48 53 45 30 18 36 15 35   
93 53 48 36 45 30 18 35 15

[7103103d-0611-3b1c-8597-2ae98cc3da68.jpg]: http://www.java3z.com/cwbwebhome/article/article1/img13/7103103d-0611-3b1c-8597-2ae98cc3da68.jpg
[ce44cd81-7e29-3fd2-af8f-9326d13523e6.jpg]: http://www.java3z.com/cwbwebhome/article/article1/img13/ce44cd81-7e29-3fd2-af8f-9326d13523e6.jpg
[7a8796eb-e4f7-3268-a9a3-8d870f853d59.jpg]: http://www.java3z.com/cwbwebhome/article/article1/img13/7a8796eb-e4f7-3268-a9a3-8d870f853d59.jpg
[127c901b-80b9-35e3-b255-8bcf3a8cfc27.jpg]: http://www.java3z.com/cwbwebhome/article/article1/img13/127c901b-80b9-35e3-b255-8bcf3a8cfc27.jpg
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[b938d263-1bc3-3956-8b3f-1c210a25eb63.jpg]: http://www.java3z.com/cwbwebhome/article/article1/img13/b938d263-1bc3-3956-8b3f-1c210a25eb63.jpg