线性空间

亦凉 2022-07-15 14:52 294阅读 0赞

1：n维向量空间 如何表示？

很简单.只是因为我们处于三维空间,大于三维的度量不容易感知.  
先从三维谈起,如向量\{x1,x2,x3\}在三维空间上必然可以分解为   
\{x1,x2,x3\}=x1\{1,0,0\}+x2\{0,1,0\}+x3\{0,0,1\}   
这三个分量\{1,0,0\}\{0,1,0\}\{0,0,1\}是线性无关的.而且是正交的.这样空间直角坐标系就有了基.这三个分量可以将任何三维向量线性表出.所以三维向量组成的几何空间其实可以用这三个基表达出任何三维向量.当然,向量和点对应,三维向量其实也是对应三维直角坐标系的一个点.  
这样对于n维向量\{x1,x2,...,xn\}=x1\{1,0,..,0\}+...+xn\{0,0,...,1\}   
其实在n维空间上就是由n个基构成的一个线性组合.换句话说,它也是其在n维直角坐标系中的一个点.当然,这里的直角的含义是,n个基两两正交.  
按照你的要求我再说明白一点,一个n维向量其实就是一个n维欧式空间的一个点.只不过是有n个向量的.

2：试证:每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和

设a1,a2,...,an 是n维空间V的一组基  
则 V = (直和) L(a1)+L(a2)+...+L(an)  
其中 L(ai) 为ai生成的子空间,L(ai) = \{ kai \}  
由于a1,a2,...,an 是V的基,所以 V中任一向量可由 a1,a2,...,an 线性表示  
所以 V = L(a1)+L(a2)+...+L(an)  
又若 k1a1+...+knan=0  
则由 a1,...,an 线性无关知 k1=...=kn=0.  
所以 V = (直和) L(a1)+L(a2)+...+L(an).

3：证明:在n维向量空间中,如果α1.α2...αn线性无关,则任一向量β可以由α1.α2...αn线性表示

在n维向量空间中,任意n+1个向量线性相关,所以α1.α2...αn,β线性相关,设：  
c1\*α1+c2\*α2...+cn\*αn+c\*β=0(其中c1,…cn,c不全为0）  
若c=0,则可得α1.α2...αn线性相关,矛盾!所以c不为0,对上式变形即可知道：  
β=-(c1/c)\*α1-(c2/c)\*α2...-(cn/c)\*αn  
即β可以由α1.α2...αn线性表示

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