除法取模逆元费马小定理

忘是亡心i 2022-07-12 11:49 341阅读 0赞

对于正整数![20140613102654328][]和![20140613102712781][]，如果有![20140613102734984][]，那么把这个同余方程中![20140613102856531][]的最小正整数解叫做![20140613102654328][]模![20140613102712781][]的逆元。

逆元一般用扩展欧几里得算法来求得，如果![20140613102712781][]为素数，那么还可以根据费马小定理得到逆元为![20140613103413828][]。（都要求a和m互质）

推导过程如下([逆元详解][Link 1])（点我）

假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）这个为费马小定理，m为素数是费马小定理的前置条件。

![20140613104248984][]

求a/b=x(mod M）

只要M是一个素数,而且b不是M的倍数,就可以用一个逆元整数b1,通过 a/b=a\*b1 (mod M)，只能来以乘换除。  
费马小定理:对于素数 M 任意不是 M 的倍数的 b，都有： b ^ (M-1) = 1 (mod M)  
于是可以拆成：b\*b^(M-2)=1(mod M)  
于是:a/b=a/b\*(b \* b ^ (M-2))=a\*(b ^ (M-2)) (mod M)

求a/b=x(mod M)

用扩展欧几里德算法算出b1,然后计算a\*b1(mod M)

exgcd(b,M,x,y); b1=x;

当p是个质数的时候有  
inv(a) = (p - p / a) \* inv(p % a) % p

证明：

设x = p % a,y = p / a  
于是有 x + y \* a = p  
(x + y \* a) % p = 0  
移项得 x % p = (-y) \* a % p  
x \* inv(a) % p = (-y) % p  
inv(a) = (p - y) \* inv(x) % p  
于是 inv(a) = (p - p / a) \* inv(p % a) % p

然后一直递归到1为止，因为1的逆元就是1。

void init()  //O(n)求逆元 
    {
    	inv[1] = 1;
    	for(int i = 2;i <= N;i ++)
    	{
    		inv[i] = (mod - mod/i) * inv[mod % i] % mod;
    	}
    //	for(int i=1; i<=10;i++)
    	//cout<<inv[i]<<endl;
    
    }

/\*  
总结：求逆元的方法  
在 mod 的情况下，(a\*b/c)%mod不能直接/c来求，需要找到一个数inv使得 inv\*c % mod =1.这样(a\*b/c)%mod = (a\*b\*inv)%mod  
性质：逆元是积性函数，存在a\*b=c,那么 inv\[c\]=inv\[a\] \* inv\[c\] %mod  
1, 暴力循环找解  
2，费马小定理的解法：mod是质数才能用  
3，利用欧几里得扩展来求。  
欧几里得扩展是用来解决 ax +by=gcd(a,b)这样的式子  
这时候取 b=mod，你可以写成这样，ax=gcd(a,b)-by  
推导出 a\*x % mod=gcd(a,b)%mod  
所以只要gcd(a,b)%mod==1是就可以使用这种方法来求逆元  
4，利用神奇的推导，O(n) 求出 1~n的所有逆元(参考上面的 init())  
5, 利用逆元函数是完全积性函数的性质,O(logN)求单个数的逆元  
\*/

它可以在O(n)的复杂度内算出n个数的逆元。

#include<cstdio>
    const int N = 200000 + 5;
    const int MOD = (int)1e9 + 7;
    int inv[N];
    int init()
    {
        inv[1] = 1;
        for(int i = 2; i < N; i ++)
            inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
    }
    int main()
    {
        init();
    }

[20140613102654328]: https://img-blog.csdn.net/20140613102654328
[20140613102712781]: /images/20220710/c0fd4368118748358c2c034e869fb151.png
[20140613102734984]: https://img-blog.csdn.net/20140613102734984
[20140613102856531]: https://img-blog.csdn.net/20140613102856531
[20140613103413828]: /images/20220710/6c9f177b9ba54917bf9873e951df9492.png
[Link 1]: http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787
[20140613104248984]: /images/20220710/81f11997282a4384850b3b6e16344dc5.png