《数论概论》读书笔记第23章二次剩余

刺骨的言语ヽ痛彻心扉 2022-06-08 20:40 356阅读 0赞

什么叫二次剩余，其实就是对于给定的p(p∈P)和n，如果有x满足x2≡n(modp)，那么n在模p意义下就是二次剩余。其实就是模意义下能否开根号。

我们先定义Fp，这是一个数域，其实就是0到p−1这p个数与模p意义下加减乘除运算构成的集合。

定理1：对于x2≡n(modp)，总共有p−12个的n能使该方程有解（将n=0情况除去，由于该情况显然有x=0）。  
证明：我们只用考虑所有x2。如果存在不同的两个数u、v，它们的平方在模p意义下同余，那么显然有p|(u2−v2)。由平方差公式p|(u\+v)(u−v)。显然p不可能整除u−v，因此p整除u\+v，因此u\+v≡0(modp)。这个结论反过来也是成立的，因此共有p−12种互不相同的平方，显然对应了所有有解的n，而且同一个n还一定存在两个互为相反数的解。

Description:

求解x2≡n(modp)。p 是一个奇质数。

Solution:  
由费马小定理:  
             np−1≡1(modp)  
所以:  
             np−12≡±1(modp)

由欧拉准则:  
             (np)≡np−12(modp)  
其中:  
             (np)为勒让德符号。

因为x≡n12(modp)，所以有xp−1≡np−12≡1(modp)。即:

(np)=⎧⎩⎨⎪⎪1−10n在模p意义下是二次剩余n在模p意义下不是二次剩余n≡0(modp)

设:  
             k=a2−n,ω=k√

则该方程的解为:  
             x≡(a\+ω)p\+12(modp)

证明：若k是该模意义下的非二次剩余，  
则:  
             wp−1=np−12=−1。

同时:  
             (a\+b)p≡ap\+bp(modp)

则:

x21≡≡≡≡≡≡≡≡(a\+ω)p\+1(a\+ω)p(a\+ω)(ap\+ωp)(a\+ω)(ap−1a\+ωp−1ω)(a\+ω)(a−ω)(a\+ω)a2−ω2a2−(a2−n)n(modp)

另一解为:  
             x2≡−x1(modp)

如何找到这个k<script type="math/tex" id="MathJax-Element-141">k</script>呢。因为非二次剩余的个数大约有一半，随机几次即可。

话不多说，可以参考资料：  
[ACdreamer 二次同余方程的解][ACdreamer]  
[二次剩余Cipolla算法学习小记][Cipolla]

[ACdreamer]: http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/10182281
[Cipolla]: http://blog.csdn.net/a_crazy_czy/article/details/51959546

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