2728 最佳拟合直线

た入场券 2022-05-26 04:14 294阅读 0赞

### 最佳拟合直线 ###

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#### Problem Description ####

在很多情况下，天文观测得到的数据是一组包含很大数量的序列点图象，每一点用x值和y值定义。这就可能需要画一条通过这些点的最佳拟合曲线。

为了避免只对个别数据分析，需要进行最佳曲线拟合。考虑N个数据点，它们的坐标是(X1,Y1)，(X2,Y2)...，(XN,YN)。假设这些值中的X是严格的精确值，Y的值是测量值(含有一些误差)。  
![2728.png][]

对于一个给定的X，如X1，对应的值Y1与曲线C上对应的Y值将存在一个差值。我们用D1表示这个差值，有时我们也称这个差值为偏差、误差或残差，它可能是正、负或零。类似的，X2...，XN，对应的差值为D2，....，DN。

我们用D12 \+ D22 \+ ... + DN2 作为衡量曲线C拟合的“最佳”程度，这个值越小越好，越大则越不好。因此，我们做以下定义：任何一种类型的曲线，它们都有一个共同的特性，当ΣDi2最小时，称为最佳拟合曲线。注：∑指“取和”计算。 一条曲线具有这一特性时，称之为“最小二乘拟合”，这样的曲线称为“最小二乘曲线”。

本次的计算任务是拟合为一条直线，数学上称之为“线性回归”。“回归”一词看起来有点陌生，因为计算最佳曲线没什么好“回归”的，最好的术语就是“曲线似合”，在直线情况下就是“线性曲线拟合”。

你的任务是编写程序用最小二乘法计算出以下线性方程的系数(斜率a以及y轴的截距b)：

y = a\*x + b (4.1)

a和b可以使用以下公式计算：  
![2728_2.png][]  
式中N是数据点的个数。注意，以上两式具有相同的分母，∑指逐项加法计算(取和)。∑x指对所有的x值求和，∑y指对所以的y值求和，∑(x^2)指对所有x的平方求和。∑xy指对所有的积xy进行取和计算。应注意，∑xy 与 ∑x\*∑y是不相同的(“积的和”与“和的积”是不同的)，同样(∑x)^2与∑(x^2)也是不相同的(“和的平方”与“平方的和”是不相同的)。

#### Input ####

n 组整数表示 x i ， y i  ，期中|x|<=10 6 ，|y|<=106, n < 15

#### Output ####

最佳拟合曲线参数 a 和 b ， a 和 b 各占一行， a  和 b 精确到小数点后 3 位。

#### Sample Input ####

4
    1  6
    2  5
    3  7
    4  10

#### Sample Output ####

1.400
    3.500

import java.util.Scanner;
    
    public class Main {
    	public static void main(String[] args) {
    		Scanner cin = new Scanner(System.in);
    		int n = cin.nextInt();
    		
    		double [] a=new double [20];
    		double [] b=new double [20];
    		
    		double x=0,y=0,xy=0,x2=0;
    		for(int i=0;i<n;i++) {
    			a[i] = cin.nextDouble();
    			b[i] = cin.nextDouble();
    			x += a[i];
    			y += b[i];
    			xy += a[i]*b[i];
    			x2 += a[i]*a[i];
    		}
    		
    		double p = n,q = n;
    		p = (p*xy-x*y)/(n*x2-x*x);
    		q = (y*x2-x*xy)/(q*x2-x*x);
                
            System.out.printf("%.3f\n%.3f\n",p,q);  
            cin.close();
    	}
    }

[2728.png]: http://acm.sdut.edu.cn/image/2728.png
[2728_2.png]: http://acm.sdut.edu.cn/image/2728_2.png