拉格朗日插值--11次切比雪夫多项式零点作为节点Python实现并计算误差

港控/mmm° 2022-05-24 12:42 373阅读 0赞

## 目标函数 ##

y=11\+x2  y = 1 1 + x 2

## 条件 ##

通过拉格朗日进行插值但是通过所给的节点的不同，会导致插值的效果也不同。

下面方法采用的是用等距节点来实现插值效果。

**插值节点：**  
使用的是11次切比雪夫多项式的零点（扩展到指定的x空间）  
也就是11个特定的节点。可以区别于之前的使用等距节点的情况

## 插值效果图 ##

龙格现象基本不严重。虽然误差还存在，但基本算是吻合。  
甚至比之前的最基础的埃尔米特插值更好。  
![这里写图片描述][70]

## 代码 ##

通过计算loss绝对值的均值，我们可以发现，用这种插值的方法只有接近0.05

import numpy as np
    from sympy import *
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    
    def f(x):
        return 1 / (1 + x ** 2)
    
    
    def ChebyshevXGet():
        ans = np.array(list(map(lambda x: np.cos((21 - 2 * x) / 22 * np.pi), range(11))))
        return ans * 5
    
    
    def draw(L):
        plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
        plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
        x = np.linspace(-5, 5, 100)
        y = f(x)
        Ly = []
        for xx in x:
            Ly.append(L.subs(n, xx))
        plt.plot(x, y, label='原函数')
        plt.plot(x, Ly, label='Lagrange插值函数')
        plt.xlabel('x')
        plt.ylabel('y')
        plt.legend()
    
        plt.savefig('1.png')
        plt.show()
    
    
    def lossCal(L):
        x = np.linspace(-5, 5, 101)
        y = f(x)
        Ly = []
        for xx in x:
            Ly.append(L.subs(n, xx))
        Ly = np.array(Ly)
        temp = Ly - y
        temp = abs(temp)
        print(temp.mean())
    
    
    if __name__ == '__main__':
        x = ChebyshevXGet()
        y = f(x)
    
        n, m = symbols('n m')
        init_printing(use_unicode=True)
        L = 0
        for k in range(11):
            temp = y[k]
            for i in range(11):
                if i != k:
                    temp *= (n - x[i]) / (x[k] - x[i])
            L += temp
        lossCal(L)
        draw(L)

[70]: /images/20220524/8994107c9b894016ab881d38e5381a61.png