一个求累加和程序的求解过程

我会带着你远行 2022-04-17 01:19 172阅读 0赞

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【题目】求f=1-1/2!+1/3!-...+1/9!

【本文结构】

看题目，有点难度（相对而言，熟悉编程后，这只是一个非常典型的问题）。将我带着大家把这个问题分解一下，由易到难解出来。

我们要经历的过程是：

（一）求f=1+2+...+9【很简单的问题】

（二）求f=1-2+3-4+...+9【在（一）的基础上，学习如何一正一负地累加】

（三）求f=1-1/2+1/3-1/4+...+1/9【在（二）的基础上，被加数成了自然数的倒数】

（四）求f=1!-2!+3!-4!+...+9!【在（二）的基础上，被加数成了自然数的阶乘】

（五）求f=1-1/2!+1/3!-...+1/9!【运用（三）和（四）的方法就能出来了】

（六）用哪种循环语句其实并不是大事，本题以上的部分而言，for循环还是最好的

（七）求f=1-1/2!+1/3!-1/4!+...，要求精度达到0.0000001【对题目的扩充，在数值求解时，常常并不限定累加的项数，而是用精度控制】

如果这些题目对你目前已经不存在问题，体会这个化简的过程就可以关闭页面了。要学会这种办法，让自己由简而繁地工作。

【相关练习题（加\*者在文后给了参考例程）】

*  对于任何正整数n，求1+n+n\*n+n\*n\*n。
 *  不断从键盘中输入实数，边输入边累加，直到它们的和超过1000时为止。
 *  计算正整数n以内（包括n）的奇数之和及偶数之和。
 *  已知本金为a，年利率为x%，试求存入银行多少年后本、利和翻一番。（提示：用s表示本、利合计，循环要表达的是“当(s<2\*a)时，增加1年，计算下一年末的本、利合计”）
 *  求任一长整数n的各位数字之和（提示：本题在每次循环中应该提取出某一位数并累加，即，先分离出个位累加，将n缩小10倍，重复操作直至n=0时为止。 ）
 *  求任一长整数n的所有因子的之。（提示：循环中对所有可能成为该数因子的数进行考察，如果是因子，累加。 ）
 *  在歌星大奖赛中，有10个评委为参赛的选手打分，分数为1~100分。选手最后得分为：去掉一个最高分和一个最低分后其余8个分数的平均值。请编写一个程序实现。
 *  （\*）一个百万富翁遇到一个陌生人，陌生人找他谈一个换钱的计划，该计划如下：我每天给你十万元，而你第一天只需给我一分钱，第二天我仍给你十万元，你给我两分钱，第三天我仍给你十万元，你给我四分钱，....，你每天给我的钱是前一天的两倍，直到满一个月（30天），百万富翁很高兴，欣然接受了这个契约。请编写程序计算30天后陌生人给了百万富翁多少钱，百万富翁给了陌生人多少钱？这个换钱计划对百万富翁是个划算的交易吗？  
    
 *  （\*）现在北京有一套房子，价格200万，假设房价每年上涨10%，一个软件工程师每年固定能赚40万。如果他想买这套房子，不贷款，不涨工资，没有其他收入，每年不吃不喝不消费，那么他需要几年才能攒够钱买这套房子？ （答案会让人很悲观。不过房价这样涨，是不正常的，总有泡泡吹破的一天。）

【本文正文】

（一）先做一个简单程序：f=1+2+...+9

这太简单了！

int main(){  const int n=9;   //把9定义成常变量，这是个好办法，增强可读性、可维护性，见P30，讲过  int i,f;   //本题求值后，f为整数，所以用int型。要根据情况选数据类型。i将用于控制循环，用int  f=0;   //赋初值很重要，也可以定义的同时初始化。有同学算出了莫名其妙的和，因为没有赋初值  for(i=1;i<=n;i++)    f=f+i;         //请深刻理解for有运行机制，要习惯于这种思维  cout<<f<<endl;}

\[小评论，为了解本题目求解过程的读者，直接跳到（二）\]  
　　在这段程序中，for可以有各种其他写法，但惟有此为最佳：i控制了循环的次数（理解为何叫计数型循环）。我们将i称作为循环变量。在for(;;)中两个分号隔开的三部分中，分别只给循环变量赋初值、判断是否结束循环、循环变量调整，其余的任何操作统统放到别的地方去做。例如此处，为f赋初值放在循环前、累加的工作作为循环体。除些之外，别的写法，如

for(f=0,i=1;i<=n;i++) f=f+i;

或

f=0,i=1;for(;i<=n;i++) f=f+i;

或

for(f=0,i=1;i<=n;f=f+i,i++);

或

f=0,i=1;for(;i<=n;){  f=f+i;  i++;}

之流的，还可以写出无数，都是不利于理解的写法。  
　　再欣赏一下正宗的for循环，想想前面的形式，那是什么东西！？最清晰、最好的写法是：

f=0;for(i=1;i<=n;i++)  f=f+i;

（二）题目再变复杂些：f=1-2+3-4+...+9

int main(){  const int n=9;  int i,f,sign=1;  //引入sign用于待加式子的符号变换  f=0;   //赋初值很重要  for(i=1;i<=n;i++)  {                //因为循环体中将出现多条语句，加{}使之成为一条复合语句    f=f+sign*i;    sign=-sign;  //这个技术很重要，相比求幂，效率提高很多  }  cout<<f<<endl;}

从这个例子中，我想强调：设计程序时，每一个变量的含义必须明确，不要试图让一个变量承担过多的角色。有些同学的变量用得很乱，碰巧得到正确的结果，有时还沾沾自喜，孰料其中存在大大的隐患。

sign变量的名字也再次告诉我们，变量起名时，要尽量起有意义的名字，尤其其中几个变量间的关系微妙时。小程序中常用n、i、f之类的，其实并不是好习惯。想想dTax、fNetIncome，何等的清楚。

（三）还再变复杂些：f=1-1/2+1/3-1/4+...+1/9。

int main(){  const int n=9;  int i,sign=1;  double f; //为什么换类型了？算下来f是小数，还用整型那不找错吗？  f=0;  for(i=1;i<=n;i++)  {    f=f+sign*double(1)/i;  //这儿涉及类型转换，下面将深入讨论    sign=-sign;  //sign只用作控制符号，不作他用，欣赏一下  }  cout<<f<<endl;}

关于类型，因为i为int型，如果直接1/i结果为int型，因为i≥1，从第2次循环开始(i=2)，f就一直累加0了，多么可怕的一个潜在Bug。也可以写作1/double(i)，但不能是double(1/i)，已经求得商为0了，再double有何用，无法起死回生了。从语句整体，写成f=f+sign/double(i);更好。

在同学学愿意将i用作double型或float型，这样f=f+sign\*1/i;或f=f+sign/i;都行。但是i是用于计数的（顺便做了除数而已）这个含义将被削弱。我个人还是不赞同这样做，尽管需要进行强制类型转换。

（四）在（二）的基础上再做次复杂化：f=1!-2!+3!-4!+...+9!  
　　增加一个变量a用于表示等待累加的阶乘值，显然，在累加3!时，上一循环计算得到的阶乘a为2!，a\*3即是要加的3!。

int main(){  const int n=9;  int i,f,a,sign=1;  //引入sign用于待加式子的符号变换  f=0;   //累加和的初值取0  a=1;   //累乘积的初值取1   for(i=1;i<=n;i++)  {                    a=a*i;    f=f+sign*a;   //将阶乘加上去，不要试图将求幂也写到一个语句中，那样的程序没法读了    sign=-sign;    }  cout<<f<<endl;}

（五）到此应该知道：将（三）和（四）结合起来就是我们要的结果了！  
　　计算：f=1-1/2!+1/3!-...+1/9!

#include <iostream>using namespace std;int main(){  const int n=9;  int i,a,sign=1;  double f;   f=0;  a=1;  //再说一点，很多同学将这两个语句写在一行，没错，但不好  for(i=1;i<=n;i++)  {    a=a*i;    f=f+sign*double(1)/a;      sign=-sign;    }  cout<<f<<endl;}

（六）用其他的循环语句完成求解  
　　\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*用while循环实现\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*  
　　给出循环：

for(i=1;i<=n;i++)    f=f+i;

对应的while循环是：

i=1;while(i<=n){  f=f+i;  i++;}

仍然是一个漂亮的计数！只不过将要做的事情在合适的位置上安排好罢了。  
　　用while实现计算f=1-1/2!+1/3!-...+1/9!的程序是

#include <iostream>using namespace std;int main(){  const int n=9;  int i,a,sign=1;  double f;   f=0;  a=1;  i=1; //对应原先for循环中的<表达式1>，—— for(i=1;i<=n;i++)  while(i<=n)  //循环条件是原for循环中的<表达式2>，—— for(i=1;i<=n;i++)  {    a=a*i;    f=f+sign*double(1)/a;      sign=-sign;    i++;     //不要漏下原for循环中的<表达式3>，—— for(i=1;i<=n;i++)    }  cout<<f<<endl;}

\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*用do-while循环实现\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*  
　　给出循环：

for(i=1;i<=n;i++)　　f=f+i;

如果能够保证循环体至少能执行1次，对应的do-while循环是：

i=1;do{  f=f+i;  i++;}while(i<=n);

换汤不换药，关键在于，对这种循环的运行过程要了然于胸。  
　　for循环和while循环的循环体允许一次都不执行，如果循环条件一开始就不满足。而do-while循环的循环体则最少执行一行。为此，有些问题用do-while写时就有其特点了，此处不表。  
　　用do-while实现计算f=1-1/2!+1/3!-...+1/9!的程序是：

#include <iostream>using namespace std;int main(){  const int n=9;  int i,a,sign=1;  double f;   f=0;  a=1;  i=1; //循环的初始条件  do    {    a=a*i;    f=f+sign*double(1)/a;      sign=-sign;    i++;          //循环变量的变化写在循环体内  }while(i<=n);   //确定在何条件下循环可以继续  cout<<f<<endl;}

（七）题目的扩充，求f=1-1/2!+1/3!-1/4!+...，要求精度达到0.0000001

在数值求解时，常常并不限定累加的项数，而是用精度控制。

上述题目的意思是：利用循环累加9次，或者说，累加，直到加了第9项。

现在的问题是：需要加几次不知道，但最后一项小于0.0000001后就不再加了。或者说，累加，直到要加的项小于0.0000001。  
　　当累加的项数不确定时，建议直接用while的思维考虑这个问题。

用伪代码表示这个思路：

累加的项item初值为1;while(item > 0.0000001) 执行累加任务;

读者可以再细化算法。对应的C++程序是：

#include <iostream>using namespace std;int main(){  const int n=9;  int i,a,sign=1;  double f,item;   f=0;   //累加和  a=1;   //阶乘  i=1;   //第几项?  item = 1;  //要加的项  while(item > 0.0000001)    {    item = double(1)/a;  f=f+sign*item;      a=a*i;  sign=-sign;    i++;        }  cout<<f<<endl;}

【部分练习参考例程】

一个百万富翁遇到一个陌生人，陌生人找他谈一个换钱的计划，该计划如下：我每天给你十万元，而你第一天只需给我一分钱，第二天我仍给你十万元，你给我两分钱，第三天我仍给你十万元，你给我四分钱，....，你每天给我的钱是前一天的两倍，直到满一个月（30天），百万富翁很高兴，欣然接受了这个契约。请编写程序计算30天后陌生人给了百万富翁多少钱，百万富翁给了陌生人多少钱？这个换钱计划对百万富翁是个划算的交易吗？

#include<iostream>using namespace std;int main(){ int days=1; double m2fs=0, f2ms=0; //总额，m2f--陌生人to富翁 double m2f=100000, f2m=0.01; //每天应付数额 while(days<=30) {  m2fs=m2fs+m2f;  f2ms=f2ms+f2m;  cout<<"第"<<days<<"天，陌生人给百万富翁"<<m2fs<<"元，百万富翁给陌生人"<<f2ms<<"元。"<<endl;  f2m*=2;  days++; } if(m2fs>f2ms)  cout<<"陌生人吃亏。"<<endl; else  cout<<"百万富翁吃亏。"<<endl; return 0;}

建议：此程序中变量的取名可以借鉴一下。

题目：现在北京有一套房子，价格200万，假设房价每年上涨10%，一个软件工程师每年固定能赚40万。如果他想买这套房子，不贷款，不涨工资，没有其他收入，每年不吃不喝不消费，那么他需要几年才能攒够钱买这套房子？

#include <iostream>  using namespace std;  int main()  {    double house_price=200, money = 40;   int year=1;   const double rate = 0.1;   const int salary = 40;   while(money < house_price)   {    cout<<year<<" "<<money<<"  "<<house_price<<endl;    ++year;    house_price*=(1+rate);    money+=salary;   }  cout<<endl;  return 0;}

思考：（1）程序会进入列限循环直至出错（这是求解结果让人沮丧的事情），如何让程序能在合适的时候停下来？（2）如果 rate = 5%，结果会如何？

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