极大似然估计

忘是亡心i 2022-04-08 16:38 383阅读 0赞

### 贝叶斯决策 ###

首先来看贝叶斯分类，我们都知道经典的贝叶斯公式：

P ( w ∣ x ) = P ( x ∣ w ) P ( w ) ) ) P ( x ) ) P(w|x) = \\frac\{P(x|w)P(w)))\}\{P(x))\} P(w∣x)=P(x))P(x∣w)P(w)))

其中：  
     P ( w ) P(w) P(w)：为先验概率，表示每种类别分布的概率；  
     P ( x ∣ w ) P(x|w) P(x∣w)：为类条件概率，表示在某种类别前提下，某事发生的概率；  
     P ( w ∣ x ) P(w|x) P(w∣x)：为后验概率，表示某事发生了，并且它属于某一类别的概率。

有了这个后验概率，我们就可以对样本进行分类。后验概率越大，说明某事物属于这个类别的可能性越大，我们越有理由把它归到这个类别下。

我们来看一个直观的例子：**已知**：在夏季，某公园男性穿凉鞋的概率为1/2，女性穿凉鞋的概率为2/3，并且该公园中男女比例通常为2:1，**问题**：若你在公园中随机遇到一个穿凉鞋的人，请问他的性别为男性或女性的概率分别为多少？

从问题看，就是上面讲的，某事发生了，它属于某一类别的概率是多少？即后验概率。  
    设： w 1 w\_1 w1=男性， w 2 w\_2 w2=女性， x x x=穿凉鞋  
    由已知可得：  
    先验概率： P ( w 1 ) = 2 / 3 P(w\_1)=2/3 P(w1)=2/3， P ( w 2 ) = 1 / 3 P(w\_2)=1/3 P(w2)=1/3  
    类条件概率： P ( x ∣ w 1 ) = 1 / 2 P(x|w\_1)=1/2 P(x∣w1)=1/2， P ( x ∣ w 2 ) = 2 / 3 P(x|w\_2)=2/3 P(x∣w2)=2/3

P ( x ) = P ( x ∣ w 1 ) P ( w 1 ) + P ( x ∣ w 2 ) P ( w 2 ) = 5 / 9 P(x)=P(x|w\_1)P(w\_1) + P(x|w\_2)P(w\_2) = 5/9 P(x)=P(x∣w1)P(w1)\+P(x∣w2)P(w2)=5/9

男性和女性穿凉鞋相互独立，所以（若只考虑分类问题，只需要比较后验概率的大小， P ( x ) P(x) P(x)的取值并不重要）由贝叶斯公式算出：  
     P ( w 1 ∣ x ) = P ( x ∣ w 1 ) P ( w 1 ) ) ) P ( x ) ) = 1 / 2 × 2 / 3 5 / 9 = 3 5 P(w\_1|x) = \\frac\{P(x|w\_1)P(w\_1)))\}\{P(x))\} = \\frac\{1/2 \\times 2/3\}\{5/9\} = \\frac\{3\}\{5\} P(w1∣x)=P(x))P(x∣w1)P(w1)))=5/91/2×2/3=53

P ( w 2 ∣ x ) = P ( x ∣ w 2 ) P ( w 2 ) ) ) P ( x ) ) = 2 / 3 × 1 / 3 5 / 9 = 2 5 P(w\_2|x) = \\frac\{P(x|w\_2)P(w\_2)))\}\{P(x))\} = \\frac\{2/3 \\times 1/3\}\{5/9\} = \\frac\{2\}\{5\} P(w2∣x)=P(x))P(x∣w2)P(w2)))=5/92/3×1/3=52

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### 问题引出 ###

但是在实际问题中并不都是这样幸运的，我们能获得的数据可能只有有限数目的样本数据，而先验概率 P ( w i ) P(w\_i) P(wi)和类条件概率(各类的总体分布) P ( x ∣ w i ) P(x|w\_i) P(x∣wi)都是未知的。根据仅有的样本数据进行分类时，一种可行的办法是我们需要先对先验概率和类条件概率进行估计，然后再套用贝叶斯分类器。  
    先验概率的估计较简单，1、每个样本所属的自然状态都是已知的（有监督学习）；2、依靠经验；3、用训练样本中各类出现的频率估计。  
    类条件概率的估计（非常难），原因包括：概率密度函数包含了一个随机变量的全部信息；样本数据可能不多；特征向量x的维度可能很大等等。总之要直接估计类条件概率的密度函数很难。解决的办法就是，把估计完全未知的概率密度 P ( x ∣ w i ) P(x|w\_i) P(x∣wi)转化为估计参数。这里就将概率密度估计问题转化为参数估计问题，极大似然估计就是一种参数估计方法。当然了，概率密度函数的选取很重要，模型正确，在样本区域无穷时，我们会得到较准确的估计值，如果模型都错了，那估计半天的参数，肯定也没啥意义了。

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### 重要前提 ###

上面说到，参数估计问题只是实际问题求解过程中的一种简化方法（由于直接估计类条件概率密度函数很困难）。所以能够使用极大似然估计方法的样本必须需要满足一些前提假设。  
    重要前提：训练样本的分布能代表样本的真实分布。每个样本集中的样本都是所谓独立同分布的随机变量 (iid条件)，且有充分的训练样本。

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### 极大似然估计 ###

极大似然估计的原理，用一张图片来说明，如下图所示：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NlYWxpcg_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
    总结起来，最大似然估计的目的就是：利用已知的样本结果，反推最有可能（最大概率）导致这样结果的参数值。  
    原理：极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，是概率论在统计学中的应用。极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大，则称为极大似然估计。  
    由于样本集中的样本都是独立同分布，可以只考虑一类样本集D，来估计参数向量θ。记已知的样本集为：

D = \{ x 1 , x 2 , . . . , x N \} D=\\left \\\{ x\_1, x\_2, ..., x\_N \\right \\\} D=\{ x1,x2,...,xN\}

似然函数（linkehood function）：联合概率密度函数 P ( D ∣ θ ) P(D|θ) P(D∣θ)称为相对于 \{ x 1 , x 2 , . . . , x N \} \\left \\\{ x\_1, x\_2, ..., x\_N \\right \\\} \{ x1,x2,...,xN\}的θ的似然函数。

l ( θ ) = P ( D ∣ θ ) = P ( x 1 , x 2 , . . . , x N ∣ θ ) = ∏ i = 1 N P ( x i ∣ θ ) l(\\theta ) = P(D|\\theta )=P(x\_1, x\_2, ..., x\_N|\\theta )=\\prod\_\{i=1\}^\{N\}P(x\_i|\\theta ) l(θ)=P(D∣θ)=P(x1,x2,...,xN∣θ)=∏i=1NP(xi∣θ)

如果 θ ^ \\hat\{\\theta \} θ^是参数空间中能使似然函数 l ( θ ) l(\\theta) l(θ)最大的θ值，则 θ ^ \\hat\{\\theta \} θ^应该是“最可能”的参数值，那么 θ ^ \\hat\{\\theta \} θ^就是θ的极大似然估计量。它是样本集的函数，记作：  
     θ ^ = d ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) = d ( D ) \\hat\{\\theta \}=d(x\_1,x\_2,...,x\_N)=d(D) θ^=d(x1,x2,...,xN)=d(D)  
     d ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) d(x\_1,x\_2,...,x\_N) d(x1,x2,...,xN)称作极大似然函数估计值。

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### 求解极大似然函数 ###

ML估计：求使得出现该组样本的概率最大的θ值。

θ ^ = a r g   m a x θ   l ( θ ) = a r g   m a x θ ∏ i = 1 N P ( x i ∣ θ ) \\hat\{\\theta \}=arg \\ \\underset\{\\theta\}\{max\} \\ l(\\theta ) = arg \\ \\underset\{\\theta\}\{max\}\\prod\_\{i=1\}^\{N\}P(x\_i|\\theta ) θ^=arg θmax l(θ)=arg θmax∏i=1NP(xi∣θ)

实际中为了便于分析，定义了对数似然函数：

H ( θ ) = l n   l ( θ ) H(\\theta) = ln \\ l(\\theta ) H(θ)=ln l(θ)  
     θ ^ = a r g   m a x θ   H ( θ ) = a r g   m a x θ   l n   l ( θ ) = a r g   m a x θ ∑ i = 1 N ( l n   P ( x i ∣ θ ) ) \\hat\{\\theta \}=arg \\ \\underset\{\\theta\}\{max\} \\ H(\\theta ) = arg \\ \\underset\{\\theta\}\{max\} \\ ln \\ l(\\theta ) = arg \\ \\underset\{\\theta\}\{max\}\\sum\_\{i=1\}^\{N\}(ln \\ P(x\_i|\\theta)) θ^=arg θmax H(θ)=arg θmax ln l(θ)=arg θmax∑i=1N(ln P(xi∣θ))

1. 未知参数只有一个（θ为标量）  
    在似然函数满足连续、可微的正则条件下，极大似然估计量是下面微分方程的解：

d l ( θ ) d θ = 0 \\frac\{dl(\\theta )\}\{d\\theta \}= 0 dθdl(θ)=0 或者等价于 d H ( θ ) d θ = d l n l ( θ ) d θ = 0 \\frac\{d H(\\theta )\}\{d\\theta \}= \\frac\{d lnl(\\theta )\}\{d\\theta \} = 0 dθdH(θ)=dθdlnl(θ)=0

2.未知参数有多个（θ为向量）  
    则θ可表示为具有S个分量的未知向量：

θ = \[ θ 1 , θ 2 , . . . , θ S \] T \\theta = \[\\theta\_1, \\theta\_2, ..., \\theta\_S\]^\{T\} θ=\[θ1,θ2,...,θS\]T

记梯度算子：

▽ θ = \[ ∂ ∂ θ 1 , ∂ ∂ θ 2 , . . . , ∂ ∂ θ S \] T \\triangledown \_\{\\theta\} = \[\\frac\{\\partial \}\{\\partial \\theta\_1\}, \\frac\{\\partial \}\{\\partial \\theta\_2\}, ..., \\frac\{\\partial \}\{\\partial \\theta\_S\}\]^\{T\} ▽θ=\[∂θ1∂,∂θ2∂,...,∂θS∂\]T

若似然函数满足连续可导的条件，则最大似然估计量就是如下方程的解。

▽ θ H ( θ ) = ▽ θ l n   l ( θ ) = ∑ i = 1 N ▽ θ l n   P ( x i ∣ θ ) = 0 \\triangledown \_\{\\theta\} H(\\theta) = \\triangledown \_\{\\theta\} ln \\ l(\\theta) = \\sum\_\{i=1\}^\{N\}\\triangledown \_\{\\theta\} ln \\ P(x\_i|\\theta) = 0 ▽θH(θ)=▽θln l(θ)=∑i=1N▽θln P(xi∣θ)=0

方程的解只是一个估计值，只有在样本数趋于无限多的时候，它才会接近于真实值。

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### 极大似然估计的例子 ###

例1：设样本服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\\mu , \\sigma ^\{2\}) N(μ,σ2)，则似然函数为：

L ( μ , σ 2 ) = ∏ i = 1 N 1 2 π σ e − ( x i − μ ) 2 2 σ 2 = ( 2 π σ 2 ) − n 2 e − 1 2 σ 2 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 L(\\mu , \\sigma ^\{2\}) = \\prod\_\{i=1\}^\{N\} \\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi \} \\sigma \} e^\{- \\frac\{(x\_i - \\mu )^\{2\}\}\{2\\sigma ^\{2\}\}\} = (2\\pi \\sigma ^\{2\})^\{-\\frac\{n\}\{2\}\}e^\{-\\frac\{1\}\{2 \\sigma ^\{2\}\} \\sum\_\{i=1\}^\{n\} (x\_i - \\mu )^\{2\}\} L(μ,σ2)=∏i=1N2πσ1e−2σ2(xi−μ)2=(2πσ2)−2ne−2σ21∑i=1n(xi−μ)2

它的对数：

l n L ( μ , σ 2 ) = − n 2 l n ( 2 π ) − n 2 l n ( σ 2 ) − 1 2 σ 2 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 ln L(\\mu , \\sigma ^\{2\}) = -\\frac\{n\}\{2\}ln(2\\pi ) - \\frac\{n\}\{2\}ln(\\sigma ^\{2\}) - \\frac\{1\}\{2\\sigma ^\{2\}\}\\sum\_\{i=1\}^\{n\} (x\_i - \\mu )^\{2\} lnL(μ,σ2)=−2nln(2π)−2nln(σ2)−2σ21∑i=1n(xi−μ)2

求导，得方程组：

\{ ∂ l n L ( μ , σ 2 ) ∂ μ = 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) = 0 ∂ l n L ( μ , σ 2 ) ∂ σ 2 = − n 2 σ 2 + − 1 2 σ 4 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 = 0 \\left\\\{\\begin\{matrix\}\\frac\{\\partial ln L(\\mu , \\sigma ^\{2\}) \}\{\\partial \\mu \} = \\frac\{1\}\{\\sigma ^\{2\}\}\\sum\_\{i=1\}^\{n\} (x\_i-\\mu ) \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad = 0 & \\\\ & \\\\ \\frac\{\\partial ln L(\\mu , \\sigma ^\{2\}) \}\{\\partial \\sigma ^\{2\} \} = -\\frac\{n\}\{2\\sigma ^\{2\}\} + -\\frac\{1\}\{2\\sigma ^\{4\}\} \\sum\_\{i=1\}^\{n\} (x\_i - \\mu )^\{2\} = 0 & \\end\{matrix\}\\right. ⎩⎪⎨⎪⎧∂μ∂lnL(μ,σ2)=σ21∑i=1n(xi−μ)=0∂σ2∂lnL(μ,σ2)=−2σ2n\+−2σ41∑i=1n(xi−μ)2=0

联合解得：

\{ μ ∗ = x ˉ = 1 n ∑ i = 1 n x i ( σ ∗ ) 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 \\left\\\{\\begin\{matrix\}\\mu ^\{\*\} = \\bar\{x\} = \\frac\{1\}\{n\}\\sum\_\{i=1\}^\{n\}x\_i \\quad \\quad & \\\\ & \\\\ (\\sigma ^\{\*\})^\{2\} = \\frac\{1\}\{n\}\\sum\_\{i=1\}^\{n\} (x\_i - \\bar\{x\})^\{2\} & \\end\{matrix\}\\right. ⎩⎨⎧μ∗=xˉ=n1∑i=1nxi(σ∗)2=n1∑i=1n(xi−xˉ)2

似然方程有唯一解 ( μ ∗ , ( σ ∗ ) 2 ) (\\mu ^\{\*\}, (\\sigma ^\{\*\})^\{2\}) (μ∗,(σ∗)2)，而且它一定是最大值点，这是因为当  ∣ μ ∣ → ∞ |\\mu |\\rightarrow \\infty ∣μ∣→∞ 或  σ 2 → ∞ \\sigma ^\{2\}\\rightarrow \\infty σ2→∞ 或 0时，非负函数 L ( μ , σ 2 ) → 0 L(\\mu, \\sigma ^\{2\})\\rightarrow 0 L(μ,σ2)→0。于是U和 σ 2 \\sigma ^\{2\} σ2的极大似然估计为 ( μ ∗ , ( σ ∗ ) 2 ) (\\mu ^\{\*\}, (\\sigma ^\{\*\})^\{2\}) (μ∗,(σ∗)2)。

例2：设样本服从均匀分布\[a, b\]。则X的概率密度函数：

f ( x ) = \{ 1 b − a , a ⩽ x ≤ b 0 , o t h e r f(x) = \\left\\\{\\begin\{matrix\}\\frac\{1\}\{b - a\}, a \\leqslant x \\leq b & \\\\ & \\\\ 0, \\quad \\quad other & \\end\{matrix\}\\right. f(x)=⎩⎨⎧b−a1,a⩽x≤b0,other

对样本 D = \{ x 1 , x 2 , . . . , x n \} D=\\left \\\{ x\_1, x\_2, ..., x\_n \\right \\\} D=\{ x1,x2,...,xn\}

L ( a , b ) = \{ 1 ( b − a ) n , a ⩽ x i ≤ b , i = 1 , 2 , . . . , n 0 , o t h e r L(a, b) = \\left\\\{\\begin\{matrix\}\\frac\{1\} \{(b - a)^\{n\}\}, a \\leqslant x\_i \\leq b, i=1,2,...,n & \\\\ & \\\\ 0, \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad other & \\end\{matrix\}\\right. L(a,b)=⎩⎨⎧(b−a)n1,a⩽xi≤b,i=1,2,...,n0,other

很显然， L ( a , b ) L(a,b) L(a,b)作为a和b的二元函数是不连续的，这时不能用导数来求解。而必须从极大似然估计的定义出发，求 L ( a , b ) L(a,b) L(a,b)的最大值，为使 L ( a , b ) L(a,b) L(a,b)达到最大，b-a应该尽可能地小，但b又不能小于 m a x \{ x 1 , x 2 , . . . , x n \} max\\left \\\{ x\_1, x\_2, ..., x\_n \\right \\\} max\{ x1,x2,...,xn\}，否则， L ( a , b ) = 0 L(a,b)=0 L(a,b)=0。类似地a不能大过 m i n \{ x 1 , x 2 , . . . , x n \} min\\left \\\{ x\_1, x\_2, ..., x\_n \\right \\\} min\{ x1,x2,...,xn\}，因此，a和b的极大似然估计：

a ∗ = m i n \{ x 1 , x 2 , . . . , x n \} a^\{\*\} = min\\left \\\{ x\_1, x\_2, ..., x\_n \\right \\\} a∗=min\{ x1,x2,...,xn\}  
     b ∗ = m a x \{ x 1 , x 2 , . . . , x n \} b^\{\*\} = max\\left \\\{ x\_1, x\_2, ..., x\_n \\right \\\} b∗=max\{ x1,x2,...,xn\}

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### 总结 ###

求最大似然估计量  θ ^ \\hat\{\\theta \} θ^ 的一般步骤：  
    （1）写出似然函数；  
    （2）对似然函数取对数，并整理；  
    （3）求导数；  
    （4）解似然方程。

最大似然估计的特点：  
    1.比其他估计方法更加简单；  
    2.收敛性：无偏或者渐近无偏，当样本数目增加时，收敛性质会更好；  
     3.如果假设的类条件概率模型正确，则通常能获得较好的结果。但如果假设模型出现偏差，将导致非常差的估计结果。

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本文转载自：[https://blog.csdn.net/zengxiantao1994/article/details/72787849][https_blog.csdn.net_zengxiantao1994_article_details_72787849]

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