谈谈我眼中的补码

分手后的思念是犯贱 2022-03-31 03:23 474阅读 0赞

导读：补码是如何产生的、计算机如何表示负数。

**目录**

1.前提认知

2.补码的实质

2.1.补码的引入

2.2.加数是减数的补码

2.3.为什么减法可以使用加法替代

2.4.减数补码的计算

3.补码如何表示负数

3.1.补码一分为二

3.2.补码的解码

4.总结

4.1.运算数据都是补码形式

4.2.减法的执行过程

--------------------

# 1.前提认知 #

（1）计算机中只有加法器，加减法使用的都是加法器，同时计算机通过加法器左移累加实现乘法运算、右移累减实现除法运算。

（2）补码是一种编码格式，它不是真实的数字。

我在之前的文章《[从晶体管开始聊聊计算机为什么采用二进制][Link 1]》中说过计算机中所有机器码“0101”实际上是高低电平的不同排列组合。

至于这些“0101”数字真正表示的是什么人类可读的信息，是由计算机科学家制定的标准决定的。

这个标准就是我们常说的“编码格式”或“编码规则”，比如“0000\_0001”在某种标准下表示现实世界十进制1，但是在另一种标准下可以表示汉字“我”，在另一种标准下表示“A”。

所以，学习原码、补码时不要认为它们是数字，它们并没有表示实际大小的意义。

（3）如下约定：“49-9=40”这个等式中49是被减数，9是减数。

# 2.补码的实质 #

## 2.1.补码的引入 ##

假如我们面对的是一台十进制的2bit计算机，即这个计算机最多能存储两位数。

（1）那么如何让9变为0？

第一种方式是9-9，得数为0；

第二种方式是9+91，得数也为0。因为9+91=100，而2bit的计算机无法记录百位数1，所以得到0。

从这里可以发现一个规律，对于2bit的计算机来说，-9的计算效果相当于+91。

下面是对“49-9”按照这种计算效果进行计算：

49-9

=49+91

=140

因为3bit的140超出存储空间，所以要舍去百位的1，得数为40，即49-9=40。

（2）同样一台十进制的2bit计算机，我们可以计算一下“30-20”。

对于“20”这个数字来说，它要想变为0，要么减去20，要么加上80，所以“-20”的计算效果与“+80”相同。

接下来计算一下30-20：

30-20

=30+80

=110

舍去最高位1，得数10，即30-20等于10。

从上面的这两个例子就可以看出对于一台十进制的2bit计算机来说，减法可以通过加法来实现。

这里产生两个问题：（1）“减数”和替换它的“加数”之间有什么样的对应关系，即如何根据减数确定加数；

（2）为什么减法可以使用加法替代。

## 2.2.加数是减数的补码 ##

对于“49-9=49+91”而言，减数9加上91正好为100，同样“30-20=30+80”中减数20加上80也是100。

这不是巧合，而是一种计算方式。

对于一台十进制的2bit计算机，这里面和减数一起加起来得到100的那个数就是减数的“补码”，减法计算其实就是加上那个减数的补码。

## 2.3.为什么减法可以使用加法替代 ##

在回答这个问题之前，先搞清楚对于一台十进制的2bit计算机，为什么要以100为补码计算的标准呢？

原因很简单，因为2bit计算机只能存储2位数，100这个3bit数字实际上就是00，数字当加到100时，自动减少100。

换句话说，对于2bit的十进制计算机来说，遇见100就清零，我这里简记为“遇百变零”，这就是一个减法，只不过是一次就固定的减100。

计算机可以借助这个特性实现减法。

比如“30-20”是在30的基础上减掉20，我们“遇百变零”是减100，而此处只要减去20，多减去100，那么我们就加上80。

所以“30-20=30+80”。

这就是为什么减法可以使用加法替代。

进而也可以认识到，减数与其补码两个数相加之和会将所有位数清零。

## 2.4.减数补码的计算 ##

上面已经说过：减数与其补码两个数相加之和会将计算机所有位数清零。

这就是减数的补码的计算方式。

对于十进制计算机来说，2bit计算机，减数 1的补码就是99；4bit计算机，减数1的补码是9999。

对于二进制计算机来说，2bit计算机，减数01的补码就是11；4bit计算机，减数0001的补码就是1111.

到了这里，我们用二进制验证一下，4bit计算机计算4-3。

3的二进制是0011，3作为减数，所以要变为补码与4相加，那么我们先计算一下0011的补码，如下表。

减数的二进制数与其补码之和会将4bit清零，可以看出0011的补码是1101，也就是减数3参与加法器计算时使用的是“1101”编码。

所以“4-3”在计算机内就是“0100+1101”，结果为10001，最高位无法存储、舍去，结果为0001，如下表。

即4-3的计算结果为0001，转换为十进制，就是1。

到这里，我们暂停，先回忆一下：计算机内的减法计算实质上是被减数加上减数的补码。比如49-9=49+91=40.

对于N位（bit）计算机而言，一个减数与其补码之和可以使N位清零。

减数就是我们现实生活中人类可读的数字，补码是计算机识别的编码符号。

由减数转化为补码这个过程称为编码，如实际数字-9转换为补码91就是编码；

由补码转换为减数这个过程称为解码，如补码91转换为实际数字-9就是解码。

# 3.补码如何表示负数 #

本篇文章的两个知识点，补码的计算已经说完了。

下面说下一个知识点，补码表示负数的规律。

## 3.1.补码一分为二 ##

因为计算机内没有减号、负号，科学家为了表示负数，就将数字区间一分为二，一半表示正数，另一半表示负数。

同样以十进制的2bit计算机作为说明，2bit计算机能够存储00到99一共100个数字。

不对！应该是00到99一共100个补码。

计算机识别的不是人类可读信息，而是这些可读信息转换的编码，一定要有这种认知！

科学家将00到49这50个补码作为正数，而且和实际数字一一对应，比如00表示实际的0，49对应实际的49。

之后将50到99这50个补码作为负数，但不是50表示实际数字-1，而是99表示实际数字的-1，50表示实际数字-50。

负数和补码之间之所以采用这种映射方式，还是因为“补码”这种编码格式：负数的绝对值（也就是减法中的减数）与其补码之和会使计算机所有位数清零。

比如-1的补码就是99，-50的补码是50。

反过来想（也就是解码），补码99表示实际数字-1，补码50表示实际数字-50.

总之，不论编码还是解码，使用的都是补码的规则：负数绝对值与补码之和清零所有位。

到这里你可能想明白了为什么8bit二进制计算机内补码1111\_1111表示-1，为什么补码1000\_0000是最大负数-128而不是-0了吧。

这样一来，00到99这100个补码就表示了实际数字-50到49。

二进制计算机也是如此，比如8bit计算机共有0000\_0000到1111\_1111一共256个补码。

256个补码一分为二，0000\_0000到0111\_1111共计128个补码表示正数，而且和实际数字一一对应。

比如补码0000\_0000表示实际数字0，0000\_1000表示实际数字8，0111\_1111表示实际数字127.

1000\_0000到1111\_1111共计128个补码表示负数，和实际负数之间采用补码这种映射关系。

比如补码1111\_1111表示-1，因为1111\_1111加上0000\_0001清零；补码1000\_0000表示-128，因为1000\_0000加上1000\_0000清零。

如此一来，8bit二进制计算机就可以表示-128到127这些实际大小的数字了。

在计算机中，8位带符号二进制数的取值范围是\[-128, 127\]，比如Java中byte类型。

这与我们上面的解释对应上了。

同时也澄清了一个误会，计算机最高位1表示负数，是因为1000\_0000将256个补码恰好一分为二，用1000\_0000及以后的补码表示负数。

计算机对于最高位是1的数字并不是将首位1直接变为负号，而是通过补码这种编码将其整体解码为负数。

所以不要将最高位的1与其它位的二进制数分离开来，分别看待。

## 3.2.补码的解码 ##

在之前的案例中，我们实现减法都是大数减去小数，如49-9,3-20,4-3.但是如果换成小数减去大数，好像就出问题了。

如果你没有发现可以计算一下“9-49”。

9-49

=9+51

=60

竟然出现了“9-49=9+51=60”的情况？

9-49应该等于-40，怎么是60呢？

原因很简单，60是-40的补码。

计算机只识别补码60，之后就会解码将其转化为实际数字-40。

这时你可能想到了文章开篇说的一种认知——补码只是一种编码格式，它不是表示真正大小的数字。

此时60这个编码对应的实际数字就是-40，即9-49=-40。

到了这里，我们就了解了人类是如何给计算机赋予负号的含义。就是通过补码的编码与解码。

# 4.总结 #

## 4.1.运算数据都是补码形式 ##

人类输入的运算信息在计算机中是以补码的形式存在的。不论是加法中的加数，还是减法中的被减数、减数，还是运算结果。

你可能想到了“49-9=49+91=40”中的“40”其实也是补码，只不过形式上和实际数字相同。

## 4.2.减法的执行过程 ##

（1）减法中的被减数和减数首先按照补码这种编码格式转换为补码，被减数和补码从形式上看一模一样，减数则是与其补码之和清零。

（2）加法器执行加法。

（3）如果数据溢出，那么就将剩下的数据解码为实际数字；如果没有溢出，就将这个结果解码为实际数字。

以十进制2bit计算机为例，49-9转换为补码49和91，之后加法器相加，溢出一位得到补码40，解码为实际数字40；

9-49转换为补码是9和51，之后加法器相加，没有溢出得到补码60，解码为实际数字-40。

以上就是我对补码的初步认识。

[Link 1]: https://blog.csdn.net/JWbonze/article/details/85075990

谈谈我眼中的补码

发表评论取消回复

还没有评论，来说两句吧...

相关阅读

相关我眼中的全栈工程师

相关我眼中的Python代码规范

相关 [我眼中的C#]网络编程

相关我眼中的浅浅

相关我眼中的全栈工程师

相关醍醐灌顶——我眼中的Spring Cloud

相关我眼中的Spring Boot

相关醍醐灌顶——我眼中的Spring Cloud

相关在我眼中的Oracle世界

相关谈谈我眼中的补码