伽罗华域（Galois Field）理解、基于伽罗华域的四则运算（附详细python代码）

港控/mmm° 2022-03-01 00:24 1442阅读 0赞

参考链接：[https://blog.csdn.net/luotuo44/article/details/41645597][https_blog.csdn.net_luotuo44_article_details_41645597]  
参考链接：[https://blog.csdn.net/shelldon/article/details/54729687][https_blog.csdn.net_shelldon_article_details_54729687]

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## 伽罗华域定义 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNjM3Mjg3OQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
我对伽罗华域的理解就是，给定一个域，比如4位，在4位之内的数字，不管加、减、乘、除，结果都在域里面，不会溢出，并且。运算时可逆的，能够还原  
比如4位最大数字为15，那么13+14 = a不能超过15，并且运算可逆：a - 13 = 14, a - 14 = 13  
同样13 x 14 = a，a不能超过15，a / 13 = 14

## 伽罗华域的计算 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNjM3Mjg3OQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

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## 有限域 ##

在密码学中，有限域GF(.p)是一个很重要的域，其中p为素数。简单来说，GF(.p)就是 mod p，因为一个数模p后，结果在\[0, p-1\]之间。对于元素a和b，那么(a+b) mod p和(a\*b)mod p，其结果都是域中的元素。GF§里面的加法和乘法都是平时用的加法和乘法。  
为什么p必须是素数？  
是因为当p为素数时，才能保证集合中的所有的元素都有加法和乘法逆元(0除外)。  
举个例子：加入p = 10，那么我们需要计算1 / 2，也就是计算a，使得(a \* 2) mod 10 = 1，但是显然没有这样的a成立。

## 本原多项式 ##

既然要求p是素数，那么有没有对不同的域的大小一个特定的素数呢，这个是有一些经常使用的素数的，转换成多项式叫做本原多项式  
例如在24域里面，多项式为：x4\+x+1，也就是二进制10011，因为需要异或这个多项式，所以多项式的最高位肯定是2w，然后后面加一个素数，在w为4的时候，这个素数就是3。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNjM3Mjg3OQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

## 通过本原多项式生成元素 ##

按照之前的算法  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNjM3Mjg3OQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNjM3Mjg3OQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
GF(24)含有16个元素，本原多项式为P(x)=x^4+x+1，除了 0、1外，另外14个符号均由本原多项式生成。  
可以看到最后一个元素的计算过程，正好对P(x)取模之后，结果为1

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNjM3Mjg3OQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

### 生成元素代码（正表构造） ###

for i in range(1, gf_element_total_number - 1):
        temp = gfilog[i - 1] << 1  # g(i) = g(i-1) * 2
        if temp & gf_element_total_number:  # 判断溢出
            temp ^= primitive_polynomial  # 异或本原多项式
        gfilog.append(temp)

结果  
![在这里插入图片描述][20190321111317586.png]  
这个将生成元变为多项式，然后映射到十进制的形式，也就是将生成元的系数映射成十进制的形式。

### 反表构造 ###

当我们需要逆元的时候，就需要将十进制变为多项式，例如我们知道gfilog\[0\] = 1，那么我们需要知道gfilog\[x\] = 1的x  
这个时候就需要构建反表gflog  
gflog的构造方式为：gflog\[gfilog\[i\]\] = i  
也就是根据二进制，转换为生成元。

for i in range(0, gf_element_total_number - 1):
        gflog[gfilog[i]] = i

结果：  
![在这里插入图片描述][20190321112012253.png]  
那么就构造出来了两个表了。  
![在这里插入图片描述][20190321112055842.png]

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## 伽罗华域四则运算 ##

#### 1.加法运算 ####

异或然后对2w取模即可

#### 2. 减法运算 ####

与加法一样，异或然后对2w取模即可

def add(self, a, b):
            return (a ^ b) % self.total
    
        def sub(self, a, b):
            return (a ^ b) % self.total

#### 3. 乘法运算 ####

1.  将十进制变为多项式：查gflog表
2.  两个多项式相加，如果溢出，对2w取模
3.  将多项式变为生成元：查gfilog表

def mul(self, a, b):
            return self.gfilog[(self.gflog[a] + self.gflog[b]) % self.total]

#### 4. 除法运算 ####

既然乘法是相加，那么除法就反过来相减。

1.  将十进制变为多项式：查gflog表
2.  两个多项式相减，如果溢出，对2w取模
3.  将多项式变为生成元：查gfilog表

def div(self, a, b):
            return self.gfilog[(self.gflog[a] - self.gflog[b]) % self.total]

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### 完整程序 ###

输入：伽罗华域位大小4、8、16、32、64  
输入：两个数字  
输出：四则远算的结果

primitive_polynomial_dict = { 4: 0b10011,  # x**4 + x + 1
                                 8: (1 << 8) + 0b11101,  # x**8 + x**4 + x**3 + x**2 + 1
                                 16: (1 << 16) + (1 << 12) + 0b1011,  # x**16 + x**12 + x**3 + x + 1
                                 32: (1 << 32) + (1 << 22) + 0b111,  # x**32 + x**22 + x**2 + x + 1
                                 64: (1 << 64) + 0b11011  # x**64 + x**4 + x**3 + x + 1
                                 }
    class GF:
        def __init__(self, w):
            self.w = w
            self.total = (1 << self.w) - 1
            self.gflog = []
            self.gfilog = [1] # g(0) = 1
            self.make_gf_dict(self.w, self.gflog, self.gfilog)
    
        def make_gf_dict(self, w, gflog, gfilog):
            gf_element_total_number = 1 << w
            primitive_polynomial = primitive_polynomial_dict[w]
            for i in range(1, gf_element_total_number - 1):
                temp = gfilog[i - 1] << 1  # g(i) = g(i-1) * 2
                if temp & gf_element_total_number:  # 判断溢出
                    temp ^= primitive_polynomial  # 异或本原多项式
                gfilog.append(temp)
    
            assert (gfilog[gf_element_total_number - 2] << 1) ^ primitive_polynomial
            gfilog.append(None)
    
            for i in range(gf_element_total_number):
                gflog.append(None)
    
            for i in range(0, gf_element_total_number - 1):
                gflog[gfilog[i]] = i
            print(gflog)
            print(gfilog)
    
        def add(self, a, b):
            return (a ^ b) % self.total
    
        def sub(self, a, b):
            return (a ^ b) % self.total
    
        def mul(self, a, b):
            return self.gfilog[(self.gflog[a] + self.gflog[b]) % self.total]
    
        def div(self, a, b):
            return self.gfilog[(self.gflog[a] - self.gflog[b]) % self.total]

### 测试 ###

gf = GF(4)
    import random
    t = 0
    while t <= 20:
        a = random.randint(1, 15)
        b = random.randint(1, 15)
        c = gf.add(a, b)
        d = gf.mul(a, b)
        print('%d + %d = %d' % (a, b, c))
        print('%d - %d = %d' % (c, a, gf.sub(c, a)))
        print('%d * %d = %d' % (a, b, d))
        print('%d / %d = %d' % (d, a, gf.div(d, a)))
        print()
        t += 1

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNjM3Mjg3OQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]

从结果中可以看到2+10=8  
8-10=2，说明加减法是可逆的  
2 x 10 = 7  
7 / 2 = 10，说明乘法除法是可逆的

[https_blog.csdn.net_luotuo44_article_details_41645597]: https://blog.csdn.net/luotuo44/article/details/41645597
[https_blog.csdn.net_shelldon_article_details_54729687]: https://blog.csdn.net/shelldon/article/details/54729687
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[20190321112055842.png]: /images/20220301/81d9c54319d142389e3dc24007998e9e.png
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