无穷和式问题

绝地灬酷狼 2022-01-12 10:43 263阅读 0赞

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这个题就用到红线

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为啥是有理数一会就知道了

**$P(x)/Q(x)$可以裂项**

$\\frac\{P(x)\}\{Q(x)\}=\\sum \\frac\{Ci\}\{x+b\_i\}=\\frac\{P(x)\}\{\\Pi(x+b\_i)\}$

通分:$\\sum \\frac\{Ci\\frac\{\\Pi(x+b\_j)\}\{(x+bi)\}\}\{\\Pi(x+b\_j)\}=\\frac\{P(x)\}\{\\Pi(x+b\_i)\}$

由于$P(x)$是N-2次的，而分子是N-1次的，所以最高次项一定是0，也就是$\\sum C\_i=0$

所以x非常大的时候会消完，就是有理数了

大概就1e6(bi的范围)项

$\\sum Ci\\frac\{\\Pi(x+b\_j)\}\{(x+bi)\}=P(x)$

然后把$-b\_i$依次带入式子，$Cj$系数都是0了，就剩下$C\_i\*const1=const2$除过去就可以了

最后枚举每个分数对答案的贡献：  
找到最后一个不会被消去的n（大概在1e6(b的范围）），对$b\_i$排序，n从1开始枚举，不断加入一些Ci，每次计算即可。（可以线性预处理逆元）

Ci直接算是O(n^2)的

快速一些要多点求值：

1.$P(x)$多点求值

2.$Q'(x)=\\sum\_\{i=1\}^n \\frac\{\\Pi\_\{j=1\}^n(x+b\_j)\}\{(x+bi)\}$带入$-b\_i$之后恰好就是$C\_i$的系数，也多点求值

$P(x)/Q(x)$也不是什么时候都可以裂项的，，有的时候也会把$Q(x)$乘过去

[学习笔记\]整数划分数][Link 1]生成函数求法

转载于:https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/10393030.html

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[Link 1]: https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/10392750.html

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