关于雅可比行列式与积分换元

拼搏现实的明天。 2021-11-17 14:42 640阅读 0赞

# 换元前后微元数目相同，然后我们保证每个微元的积分（就是dxdy \* f(x,y) 的简单乘积）相同那么最后的结果必定是一样的。 #

# 对于二元情况的证明参考同济高数7版 P151 #

# **A** #

考虑线性方程组

u=ax+by

v=cx+dy

\------------------------------

如果在xy平面上取 (0,0),(1,0),(0,1),(1,1)4个点构成一个变长为1的正方形，那么经过

\[a   b

c    d\] 做变换后会是一个平行四边形。在uv平面上是 <a,b>,<c,d> 两个向量

向量的面积  | <a,b>  x  <c,d> |  = ad-cd  这就表示变换后的面积比原面积是ad-cb/1

等于方程组的对应得行列式

# ** B** #

x=g(u,v) y=h(u,v) ,  x,y 与 u v不是线性的

但是做全微分后，   dx= Gu du + Gv dv ,  dy=Hu du  +Hv dv

可见微元 dxdy 与 dudv 在指定点（u0,v0)  是成线性关系的。 dxdy 、dudv 面积之比

| Gu   Gv

Hu    Hv|  即雅可比行列式（行列式不能是0）  即 dxdy/dudv=J   所以做积分变换时 dxdy=  J \* dudv

考虑  f(x,y) dxdy 积分变换后要保证值一致（微元数一样），由于被积函数一样都是f(x,y) =f( g(u,v),h(u,v)) ,所以当 f(x,y) dxdy =  f(g(u,v),h(u,v)) \* J \* dudv时才能保证一致。

注意 J^-1  是  u=g(x,y)  ,v=(x,y)    即反函数表示雅克比行列式

他们互为倒数

\---------------------------------------------------------

# **C** #

已知道u=g(x,y) v=h(x,y)时 J=| (u,v)/(x,y)|

dudv= J dxdy

已知道联合密度函数在区域上的积分是1

那么变换后每个微元 dudv都有一个正好对应的 dxdy,变换前后的密度函数在该区域上的概率取值应该相等即

fuv(u,v) du dv= fxy(x,y) dxdy =>    fuv(u,v)=   fxy(x,y)  ( dxdy/dudv)=  fxy(x,y) J ^-1

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