华中科大实验班

柔情只为你懂 2021-11-04 18:06 1563阅读 0赞

# 2014年华中科技大学理科实验班选拔试题—数学 | Math173 #

来源：[兰琦网页][Link 1]

一、填空题（本题共5小题，每小题8分，共40分）

1、设\\(f(x)=\\dfrac\{x\}\{\\sqrt\{1+x^2\}\}\\)，则\\(n\\)重复合函数\\(f\_n(x)=f(f(\\cdots f(x)\\cdots))=\\)\_\_\_\_\_\_\_．

2、设多项式\\(p(x)\\)满足\\(p\\left(x^2+1\\right)=\\left(p(x)\\right)^2+1\\)和\\(p(0)=0\\)，则\\(p(x)=\\)\_\_\_\_\_\_\_.

3、设\\(S\_n=\\sum\\limits\_\{k=1\}^n\\dfrac\{6^k\}\{\\left(3^\{k+1\}-2^\{k+1\}\\right)\\left(3^k-2^k\\right)\}\\)，则极限\\(\\lim\\limits\_\{n\\to\\infty\}S\_n=\\)\_\_\_\_\_\_\_.

4、对\\(x>0\\)，函数\\(f(x)=\\dfrac\{\\left(x+\\dfrac1x\\right)^6-\\left(x^6+\\dfrac1\{x^6\}\\right)-2\}\{\\left(x+\\dfrac1x\\right)^3+\\left(x^3+\\dfrac1\{x^3\}\\right)\}\\)的最小值为\_\_\_\_\_\_\_．

5、假设\\(20\\)名学生中的每一名学生可从提供的六门课程中选学一门至六门，也可以一门都不选．试判断下列命题是否正确：存在\\(5\\)名学生和两门课程，使得这\\(5\\)名学生都选了这两门课，或者都没选，选填“正确”或“否”\_\_\_\_\_\_\_．

二、（本题共14分）

1、若\\(a\\)为正整数而\\(\\sqrt a\\)不为整数，证明：\\(\\sqrt a\\)为无理数.

2、试证：除\\(0,0,0\\)外，没有其他整数\\(m,n,p\\)使得\\\[m+n\\sqrt2+p\\sqrt3=0.\\\] 三、（本题共16分） 设\\(a,b,c\\)为三角形三边之长，\\(p=\\dfrac\{a+b+c\}2\\),\\(r\\)为内切圆半径，证明：\\\[\\dfrac1\{(p-a)^2\}+\\dfrac1\{(p-b)^2\}+\\dfrac1\{(p-c)^2\}\\geqslant\\dfrac1\{r^2\}.\\\]

四、（本题共12分） 证明：设\\(m\\)是任一正整数，则\\(a\_m=\\dfrac12+\\dfrac13+\\dfrac14+\\dfrac15+\\cdots+\\dfrac1\{2^m\}\\)不是整数．

五、（本题共18分） 下图是2013年恒大足球俱乐部策划的主场与首尔FC足球队的亚冠决赛海报，左边是恒大队，右边是首尔队，该海报的寓意是什么？要求简单推导海报中两个数学式子的结果．一个数学式子是\\(\\sqrt\{1+2\\sqrt\{1+3\\sqrt\{1+4\\sqrt\{1+\\cdots\}\}\}\}\\)(拉马努金式子)，另一个是\\(\\mathrm e^\{\\pi \\mathrm i\}+1\\)(已知欧拉公式\\(\\mathrm e^\{\\pi \\mathrm i\}=\\cos\\alpha+\\mathrm i\\sin\\alpha\\))．

[![图片20][20]][20_20]

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## **参考答案** ##

一、填空题

1、\\(\\dfrac\{x\}\{\\sqrt\{1+nx^2\}\}\\)．

2、\\(x\\)    **提示    **方程\\(p(x)-x=0\\)有无数个零点，于是\\(p(x)=x\\)．

3、\\(2\\)    **提示**    裂项为\\(\\dfrac\{2^k\}\{3^k-2^k\}-\\dfrac\{2^\{k+1\}\}\{3^\{k+1\}-2^\{k+1\}\}\\)．

4、\\(6\\)    **提示**    函数\\(f(x)=3\\left(x+\\dfrac 1x\\right)\\)．

5、否    **提示**    \\(6\\)门课中选\\(3\\)门共有\\(\{\\rm C\}\_6^3=20\\)种不同的组合，让每个同学分别选一种组合，那么任何两门课同时选和同时不选的同学数均为\\(4\\)．

二、略

**提示 **  均用反证法．

三、略

**提示**    \\(pr=S\\)，而\\(S=\\sqrt\{p(p-a)(p-b)(p-c)\}\\)．

四、略

**提示**    设右边的公分母为\\\[\\left\[2,3,4,\\cdots,2^m\\right\]=2^m\\cdot p,\\\]其中\\(p\\)是一个奇数，两边同时乘以公分母，则左边是偶数，而右边为奇数．

**注一**    利用这个方法可以证明\\(\\sum\\limits\_\{i=1\}^n\{\\dfrac 1i\}\\)，其中\\(n\\in\\mathcal N^\*\\)且\\(n\\geqslant 2\\)均不是整数．另外，这个方法中从\\(2\\)的方幂出发也不是必须的．

**注二**    也可以两边同时乘以\\(\\dfrac\{\[2,3,\\cdots,2^m\]\}p\\)，其中\\(p\\)为右边各分母分解质因数后的最大奇素数因子，根据[伯特兰-切比雪夫定理][-]，含\\(p\\)的项唯一，进而即得．

五、\\(3:0\\)

**提示  **  拉马努金恒等式，注意到\\\[n=\\sqrt\{1+(n-1)(n+1)\},\\\]于是\\\[\\begin\{split\}3&=\\sqrt\{1+2\\cdot 4\}\\\\&=\\sqrt\{1+2\\sqrt\{1+3\\cdot 5\}\}\\\\&=\\sqrt\{1+2\\sqrt\{1+3\\sqrt\{1+4\\cdot 6\}\}\}\\\\&=\\cdots\\end\{split\}.\\\]

# 2015年华中科技大学理科实验班选拔试题—数学 | Math173 #

![cropped-5-32x32.jpg][]  lanqi.org

**一、填空题**

1、对抛物线\\(y^2=2\\sqrt 2x\\)，若设其焦点为\\(F\\)，\\(y\\)轴正半轴上一点为\\(N\\)．若准线上存在唯一的点\\(P\\)使得\\(\\angle NPF=90^\\circ\\)，则\\(N\\)点的纵坐标为\_\_\_\_\_\_\_．

2、\\(\\dfrac\{1\}\{\\sqrt 1+\\sqrt 2\}+\\dfrac\{1\}\{\\sqrt 2+\\sqrt 3\}+\\cdots+\\dfrac\{1\}\{\\sqrt\{255\}+\\sqrt\{256\}\}=\\)\_\_\_\_\_\_．

3、若已知\\(\\lim\\limits\_\{n\\to +\\infty\}\\left(\\sum\\limits\_\{i=1\}^n\\dfrac\{1\}\{i\}-\\ln n\\right)\\)存在，则\\(\\sum\\limits\_\{i=0\}^\{+\\infty\}\{\\dfrac\{(-1)^\{i+2\}\}\{i+1\}\}=\\)\_\_\_\_\_\_\_．

4、在边长为\\(1\\)的正方形中（含边界）取\\(9\\)个点，其中必有\\(3\\)个点，它们构成的三角形面积不超过\_\_\_\_\_\_\_．

5、某人打靶打中 8 环、9 环、10 环的概率分别为\\(0.15\\)、\\(0.25\\)、\\(0.2\\)，现他开三枪，不少于\\(28\\)环的概率为\_\_\_\_\_\_\_．

**二、解答题**

6、若对任意实数\\(x,y\\)，有\\(f\\left((x-y)^2\\right)=\\left(f(x)\\right)^2-2x\\cdot f(y)+y^2\\)，求\\(f(x)\\)．

7、求所有\\(a,b\\)，使\\(\\left|\\sqrt\{1-x^2\}-ax-b\\right|\\leqslant \\dfrac\{\\sqrt 2-1\}2\\)成立，其中\\(x\\in \[0,1\]\\)．

8、若复数\\(z\\)满足\\(|z|=1\\)，求\\(\\left|z^3-z+2\\right|^2\\)的最小值．

9、已知三次方程\\(x^3+ax^2+bx+c=0\\)有三个实根．

（1）若三个实根为\\(x\_1,x\_2,x\_3\\)，且\\(x\_1\\leqslant x\_2\\leqslant x\_3\\)，\\(a,b\\)为常数，求\\(c\\)变化时\\(x\_3-x\_1\\)的取值范围；

（2）若三个实根为\\(a,b,c\\)，求\\(a,b,c\\)．

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### **参考答案** ###

**一、填空题**

1、\\(2\\)    提示：斜边\\(NF\\)的中点\\(M\\)在抛物线上，坐标为\\(\\left(\\dfrac\{\\sqrt\{2\}\}4,1\\right)\\)．

2、\\(15\\)

3、\\(\\ln 2\\)

4、\\(\\dfrac 18\\)

提示：如图．

[![QQ20150930-1][]][QQ20150930-1]

5、\\(0.0935\\)

**二、解答题**

6、\\(f(x)=x\\lor f(x)=x+1\\) 提示：令\\(x=y\\)得\\\[f(0)=\\left(f(x)-x\\right)^2,\\\]再令\\(x=0\\)可得\\(f(0)=0\\lor f(0)=1\\)．

7、  \\(a=-1\\land b=\\dfrac\{\\sqrt 2+1\}2\\) 提示：三角换元，\\(x=\\cos\\theta\\)，其中\\(\\theta\\in\\left\[0,\\dfrac\{\\pi\}2\\right\]\\)，则原式变形为\\\[\\left|\\sqrt\{1+a^2\}\\sin\\left(\\theta+\\varphi\\right)-b\\right|\\leqslant \\dfrac\{\\sqrt 2-1\}2,\\\]注意到代数式\\(\\sqrt\{1+a^2\}\\sin\\left(\\theta+\\varphi\\right)\\)的值域区间长度不能超过\\(\\sqrt 2-1\\)，于是\\(a=-1\\)，进而\\(b=\\dfrac\{\\sqrt 2+1\}2\\)．

8、\\(\\dfrac \{8\}\{27\}\\) 提示：利用共轭复数，并令\\(x=z+\\bar z\\)，则有原式等于\\(2x^3-x^2-8x+8\\)，其中\\(x\\in \[-2,2\]\\)．

9、（1）\\(\\left\[\\sqrt\{a^2-3b\},2\\sqrt\{\\dfrac\{a^2\}3-b\}\\right\]\\)；

（2）有理解为\\((a,b,c)=(0,0,0),(1,-1,-1),(1,-2,0)\\)，无理解为\\(\\left(-\\dfrac 1b,b,\\dfrac 2b-b\\right)\\)，其中\\(b=t+\\dfrac 2\{3t\}\\)，而\\(t=\\sqrt \[3\]\{-1+\\sqrt\{\\dfrac \{19\}\{27\}\}\}\\)．

# 每日一题\[29\] 一般三次方程的解法 | Math173 #

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今天的问题是从2011年第二届世界数学锦标赛青年组接力赛第二轮的一道试题开始的．

**求方程\\\[(x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3\\\]的所有实数根之和．**

厉害，我们老师是用的三角换元反三角表示\_(•̀ω•́ 」∠)\_

![cover][]

这个问题并不难解决\\\[\\begin\{split\}&\\qquad(x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3\\\\&\\Leftrightarrow x^6+x^5+x^4+x^2+x+1=28x^3\\\\&\\Leftrightarrow x^3+x^2+x+\\dfrac 1x+\\dfrac 1\{x^2\}+\\dfrac 1\{x^3\}=28.\\end\{split\}\\\] 令\\\[t=x+\\dfrac 1x,t\\in (-\\infty,-2\]\\cup \[2,+\\infty)\\\]则上述方程可以化为\\\[\\left(t^3-3t\\right)+\\left(t^2-2\\right)+t=28,\\\]即\\\[(t-3)(t^2+4t+10)=0,\\\]舍去虚根解得\\\[t=3.\\\] 因此\\\[x+\\dfrac 1x=3,\\\]即\\\[x^2-3x+1=0,\\\]其所有实数根之和为\\(3\\)．

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这道试题并不是今天的问题，仅仅是提示而已．今天的问题是16世纪的竞赛题（那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题．想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛）：

**解关于\\(x\\)的方程\\\[x^3+px+q=0.\\\]**

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问题的关键在于如何进行恰当的换元．

注意到\\\[\\left(t+\\dfrac 1t\\right)^3=t^3+\\dfrac 1\{t^3\}+3\\left(t+\\dfrac 1t\\right).\\\] 也就是说，如果\\(p=-3\\)，那么我们做换元\\(x=t+\\dfrac 1t\\)，方程就转化为\\\[t^3+\\dfrac 1\{t^3\}+q=0,\\\]即\\\[(t^3)^2+q\\cdot t^3+1=0,\\\]可以利用二次方程的求根公式求得\\(t^3\\)，进而求出\\(t\\)，然后代回\\(x=t+\\dfrac 1t\\)，求根过程就完成了．

现在面临的困难是如何处理\\(p\\)，需要对换元进行一个小小的改造．

由于\\\[\\left(t+\\dfrac ut\\right)^3=t^3+\\dfrac\{u^3\}\{t^3\}+3u\\left(t+\\dfrac ut\\right),\\\]因此令\\(x=t+\\dfrac ut\\)，其中\\(u\\)为待定系数，那么原方程变为\\\[t^3+\\dfrac\{u^3\}\{t^3\}+(3u+p)\\cdot\\left(t+\\dfrac ut\\right)+q=0.\\\] 在这个方程中，令\\(u=-\\dfrac p3\\)，就会和之前一样变成一个关于\\(t^3\\)的二次方程，以下略．

事实上，任何一个三次方程\\\[ax^3+bx^2+cx+d=0,a\\neq 0\\\]都可以利用完全立方公式\\\[\\left(x+\\dfrac b\{3a\}\\right)^3=x^3+\\dfrac bax^2+\\dfrac \{b^2\}\{3a^2\}x+\\dfrac \{b^3\}\{27a^3\}=0\\\]通过配方转化为\\\[x^3+px+q=0\\\]的形式．因此掌握了这个方法，就等于掌握了一般三次方程的解法．

在一般三次方程的解法中，我们用到的换元\\(x=t+\\dfrac ut\\)同样也是解高次方程的重要换元．需要注意到的是，在每一步的求解过程中，要先弄清是求方程的实根还是所有根．

最后留一道练习题．

**求关于\\(x\\)的方程\\\[x^5+10x^3+20x-4=0\\\]的所有根．**

答案是\\\[x=\\left(2^\{\\frac 35\}-2^\{\\frac 25\}\\right)\\cos\\dfrac\{2k\\pi\}\{5\}+\\left(2^\{\\frac 35\}+2^\{\\frac 25\}\\right)\\mathcal\{i\}\\sin\\dfrac\{2k\\pi\}\{5\},k=0,1,2,3,4.\\\]其中用到的代换为\\(x=t-\\dfrac 2t\\)．

转载于:https://www.cnblogs.com/Eufisky/p/11300758.html

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