198. 反素数（dfs）

柔情只为你懂 2021-10-29 14:10 358阅读 0赞

题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/description/200/  
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对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)，例如g(1)=1、g(6)=4。

如果某个正整数x满足：对于任意的小于x的正整数 i，都有g(x)>g(i) ，则称x为反素数。

例如，整数1，2，4，6等都是反素数。

现在给定一个数N，请求出不超过N的最大的反素数。  
输入格式

一个正整数N。  
输出格式

一个整数，表示不超过N的最大反素数。  
数据范围

1≤N≤2∗109

输入样例：

1000

输出样例：

840

### 分析： ###

要不是有书，给我三十年，我也做不出这道题。 好菜呀。 关键有书我还能wa。

讲一下自己的理解吧。  
明确几点概念：  
正整数N被唯一分解为N=p1^c1\* p2^2 \* ~~pn ^cn  
我们可得：  
此正整数约数的个数为：  
（c1 + 1） \* (c2 +1) ~ ~(cn + 1);

第一反应求出1到N里面所有数的约数个数，并从左到右进行扫描找到最大的约数个数，如果最大数有多个，那应该是数小的那一个。到此方法必超时。  
但可得引理一：  
1到N中最大的反质数，就是1到N中约数个数最多的数中的最小一个数。  
引理二：  
看N的范围为1到2e9.那么1到N中任何数的不同质因子个数一定不会超过十个  
eg:  
2 \* 3 \* 5 \* 7 \* 11 \* 13\* 17 \* 19 \* 23 \* 29 \* 31 > 2e9.  
那么同理，我们可的最高次幂不会超过31  
eg:  
2^31 > 2e9  
引理三：  
我们要求的那个数势必是下面形式：  
2^c1 \* 3^c2 \* ~~\* 31^cn。并且c1>= 2 >= cn  
证明：不是非上升幂。那么我们通过交换质因子的方法，可以得到一个比他小的数。  
最后在跑2e9的时候超时了。原因归咎是sum爆了longlong，成为了负数，所以特别加了一个判定是否为负数的情况。

#include"string.h"
    #include"math.h"
    #include"algorithm"
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    
    ll N,m,max_cnt;
    ll prime[12] = {0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31};
    
    void dfs(int id,int x,ll sum,ll cnt)
    {
        if(sum > N || sum < 0) return ;
        //printf("sum = %lld m = %lld\n",sum,m);
        if(x == 0 || id > 11)
        {
            if(cnt > max_cnt)
            {
                m = sum; max_cnt = cnt;
            }
            else if(cnt == max_cnt)
                m = min(m,sum);
            return ;
        }
    
        dfs(id,x - 1,sum,cnt);
        dfs(id + 1,x,sum * (ll)pow(prime[id],x),cnt * (x + 1));
    }
    
    int main()
    {
        scanf("%lld",&N);
        m = N + 1;
        max_cnt = 1;
        dfs(1,30,1LL,1LL);
        printf("%lld\n",m);
    }

[80x15.png]: https://i.creativecommons.org/l/by-sa/4.0/80x15.png
[80x15.png 1]: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/